矩阵可交换的几个充分条件和必要条件(定理1 定理2 定理3 定理4 定理5 定理6)

可交换矩阵的一些性质(性质1 性质2)

满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵,即矩阵A，B满足：A·B=B·A。

高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵.。

矩阵可交换的几个充分条件和必要条件

定理1

下面是可交换矩阵的充分条件：

(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换;

(2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换;

(3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换;

(4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换;

(5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。就是你把对角矩阵对角线上的元素改成一块快小方阵~~~额。。我不会打 差不多就是从左上到右下一系列的方块构成）,则A , B 可交换;

(6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换;

(7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换;

(8) 设AB = E ,则A , B 可交换.

定理2

(1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换;

(2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换.

定理3

(1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换;

(2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换.

矩阵可交换的几个充要条件

定理4

下列均是A , B 可交换的充要条件:

(1) A - B = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B)

(2) ( A ±B) 2 = A 2 ±2 AB + B2 ;

(3) ( AB)′= A′B′;

(4) ( AB)= AB

定理5

可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：

(AB) = A ·B .

定理6

(1) 设A , B 均为(反) 对称矩阵, 则A , B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;

(2) 设A , B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A , B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.

可交换矩阵的一些性质

性质1

设A , B 可交换,则有:

(1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整数;

(2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换;

(3) A - B = ( A - B ) ( A + A B ⋯+B ) = ( A + A B + ⋯+ B) ( A - B)

(4) ( A + B )^m =(矩阵二项式定理)

性质2

设A , B 可交换,

(1) 若A , B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵;

(2) 若A , B 均为幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂等矩阵;

(3) 若A , B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵;

(4) 若A , B 均为幂零矩阵,则AB , A + B 均为幂零矩阵.