可积函数定义

函数可积的充分条件

勒贝格可积性

可积函数定义

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。

函数可积的充分条件

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

勒贝格可积性

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。

给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→ R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分

有限。令

为f的"正部"和"负部"。如果f可积，则其积分定义为

对于实数 p≥ 0，函数f是p-可积的如果|f| 是可积的；对于p= 1，也称绝对可积。（注意f(x)是可积的

当且仅当|f(x)|是可积的，所以"可积"和"绝对可积"在勒贝格意义下等价。）术语p-可和也是一样的意义，常用于f是一个序列，而μ是离散测度的情况下。

这些函数组成的L空间是泛函分析研究中的主要对象之一。