定义与性质

在有理数中的证明

在实数域上证明(函数连续 函数在区间有界 函数在某点连续 函数单调 函数保号)

其他解的性质

不连续解存在性

定义与性质

柯西方程是函数方程

f(x+y)=f(x)+f(y)

此方程的解称为加性函数，在有理数定义域上，利用初等代数我们很容易得出有一族函数满足条件，是f(x)=cx,其中c是任意实数。定义域是实数时，同样有一族函数满足条件，但有些是极其复杂的，所以我们需要更多的条件得到f(x)=cx，以下条件与f(x)是正比例函数：

f是连续函数（在1821年已被柯西证明），后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。

存在a,b∈R,(a<b),函数在(a,b)有界

f单调，或f在某区间单调。

存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0

另外，如果没有其他条件的话，（假如承认选择公理成立），那么有无穷非f(x)=cx的函数满足该条件,这是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念证明的。

希尔伯特第五问题是该方程的推广

存在实数c使得f(cx)≠cf(x)解称为柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希尔伯特第三问题中，从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。

在有理数中的证明

y=0,那么有f(x+0)=f(x)+f(0),即f(0)=0

y=-x,那么由f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)=-f(-x)

利用数学归纳法,可知f(nx)=nf(x)

将x用x/n代替，那么有

f(nx/n)=nf(x/n)=f(x)

任意有理数m/n,有

f((m/n)x)=mf(x)/n

以上合起来，就是任意q∈Q，α≠0有

f(αq)=qf(α),取α=1,可得f(q)=qf(1),得证。

在实数域上证明

函数连续

由于函数连续，且有理数稠密，不难说明f(x)=xf(1)在x为任意实数上成立（利用有理数逼近）。

函数在区间有界

定义函数g(x)=f(x)-f(1)x,显然g是实值函数。

由于g(x+y)=f(x+y)-f(1)(x+y)=(f(x)-f(1)x)+(f(y)-f(1)y)=g(x)+g(y)

所以g(x)也是满足柯西函数方程的函数

因此任意q∈Q,我们有g(qx)=qg(x)

由于f在(a,b)上有界，那么设界为M，即任意x∈(a,b),有|f(x)|≤M

那么由于|x|≤max(|a|,|b|),有任意x∈(a,b),

|g(x)|=|f(x)-f(1)x|≤|f(x)|+|f(1)||x|≤M+max(|a|,|b|),即g在(a,b)有界

由于任意x不在(a,b),有有理数q，使得x-q∈(a,b),

即|g(x)|=|g(x-q)+g(q)|=|g(x-q)|同样有界,即g(x)在R上有界

而若有x∈R,使得g(x)不为0，那么必存在n，使得|g(nx)|=n|g(x)|趋向无穷大，矛盾。

因此g(x)=0恒成立，即f(x)=f(1)x

函数在某点连续

根据连续的定义可知，任意δ,存在ε，使得x∈(x0-δ,x0+δ),|f(x)-f(x0)|<ε,即f(x)在区间有界，化为上面的条件。

函数单调

在某区间(a,b)单调，那么任意x∈(a,b),

f(q1)<f(x)<f(q2),

其中q1<x,q2>x,将q1,q2逼近x，不难说明f(x)=xf(1)

而任意x∈R,存在q，使得x=qr,r∈(a,b),q∈Q,

同理可知成立。

函数保号

保号是指：存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0。

根据对称性我们只需证明"存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0"的情况。

任意y>x,存在n,使得e=(y-x)/n∈[0,ε1],那么利用

f(y)-f(x)=f(y)-f(y-e)+f(y-e)-f(y-2e)+...+f(x+e)-f(x)=nf(e)>0,即可得f(x)单调，化为上面条件。

其他解的性质

以下的证明将显示“其他的解”(若存在)是相当病态(pathological)的函数。我们将证明这个函数f所对应的图y=f(x)在R^2中稠密，亦即在平面上任何给定的圆都至少包含该图形的一个点，我们将从这个定义着手证明。

详情见右图

不连续解存在性

要构造出反例，必须承认 选择公理或 Zorn引理，从而当我们把 看成是 上的线性空间时，它允许我们选出无穷多个元素作为基底，使得每个实数都能写成 以有理数为系数 的有限个基底的线性组合，称为哈默基(Hamel Basis)。

详情见右图