柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

柯西不等式(二维形式)

证明(三角形式的证明 一般形式的证明 向量形式的证明)

柯西简介

其他不等式

复变中的柯西不等式

柯西不等式

二维形式

(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2

等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)

扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n）

三角形式

√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

等号成立条件：ad=bc

注：“√”表示平方根，

向量形式

|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

一般形式

（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2;

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

上述不等式等同于图片中的不等式。

推广形式

(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n

注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均

不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）

概率论形式

√E(X^2) √E(Y^2)≧∣E(XY)∣

证明

二维形式的证明（a2+b2)(c2+d2）　（a,b,c,d∈R) =a2·c2 +b2·d2+a2·d2+b2·c2 =a2·c2 +2abcd+b2·d2+a2·d2－2abcd+b2·c2 =(ac+bd)2+(ad－bc)2 ≥（ac+bd)2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

√（a2+b2)+√（c2+d2）≥√[(a-c)2+(b-d)2]

证明：[√（a2+b2)+√（c2+d2)]^2=a2+b2+c2+d2+2*√（a2+b2)*√（c2+d2)

≥a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d| 注：| |表示绝对值。*表示乘

≥a2+b2+c2+d2+2（a*c+b*d）

=a2+2*a*c+c2+b2+2bd+d2

=(a+c)2+(b+d)2

两边开根号即得 √（a2+b2)+√（c2+d1）≥√[(a+c)2+(b+d)2]

一般形式的证明

求证：（∑ai2）（∑bi2) ≥ （∑ai·bi)2

证明：

等式左边=(ai2·bj2+aj2·bi2)+.................... 共n2 /2项

等式右边=（ai·bi）·（aj·bj)+(aj·bj）·（ai·bi)+...................共n2 /2项

用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证

向量形式的证明

令m=(a1,a2，…，an），n=(b1,b2，…，bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√（a12+a22+…+an2) ×√（b12+b22+…+bn2) ×cos<m,n>

∵cos<m,n>；≤1

∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√（a12+a22+…+an2) ×√（b12+b22+…+bn2)

注：“√”表示平方根。

注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

【柯西不等式的应用】　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

∵a 、b 、c 均为正数

∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b）

又9=(1+1+1)^2 ∴只需证：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1)2=9

又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足

∴原不等式成立

求某些函数最值

例：求函数y=3√（x－5)+4√（9－x）的最大值。（注：“√”表示平方根）

函数的定义域为[5,9]，y>0

y=3√（x－5)+4√（9－x）≤√（32+42）×√{ [√（x－5)] 2 + [√（9－x)] 2 }=5×2=10

函数仅在4√（x－5)=3√（9－x），即x=6.44时取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例请参考有关文献。三角形式证明 ：两边同时平方，展开，消去同样的项，剩余部分再平方，消去同样的项，得一完全平方式，大于或等于0，得证

代数形式

设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数，则（a1b1+a2b2+...+anbn）①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立.

推广形式的证明

推广形式为

(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn+…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n (*)

证明如下

记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….

由平均值不等式得　（1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An）≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n）　=[（Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n）　（1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An）≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n）　=[（Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n），　……　上述m个不等式叠加得　1≥[（Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[（Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…　即（A1*A2*…*An)^(1/n）≥（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…　即 A1*A2*…*An≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n　即（x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn+…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n，　因此，不等式（*）成立.

（注：推广形式即为卡尔松不等式）

柯西简介

柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789－1857），法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。

他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子相反。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为力学奠定了严格的理论基础。

其他不等式

卡尔松不等式

琴生不等式

均值不等式

绝对值不等式

权方和不等式

赫尔德不等式

闵可夫斯基不等式

贝努利不等式

排序不等式

复变中的柯西不等式

见右图