词条 | 开集 |
释义 | 基本概念开集是拓扑学里最基本的概念之一。 假设X是一个集合, 如果存在一系列X的子集合 (a∈I, I是下标集)满足下面的条件,那么每个这样的子集就称为X的一个开集,X称为拓扑空间: (1)X=∪U_a (即X是所有U_a的并); (2)X中任何两个这样的子集合的交也落在I中;(即a∈I,b∈I,a∩b∈I) (3)X中任何多个这样的子集合的并也落在I中。(即a∈I,b∈I,a∪b∈I) 在实数轴上,最常见的开集就是开区间。 定义设A是度量空间X的一个子集.如果A中的每一个点都有一个邻域包含于A,则称A是度量空间X中的一个开集. 注解实数空间R中的开区间都是开集设a,b∈R,a<b.我们说开区间 (a,b)={x∈R|a<x<b} 是R中的一个开集.这是因为如果x∈(a,b),若令 ε=min{x-a,b-x}, 则有x的邻域B(x,ε)=(x-ε,x+ε)包含于(a,b). 也同样容易证明无限的开区间 (a,∞)={x∈R|x>a},(-∞,b)={x∈R|x<b},(-∞,∞)=R 都是R中的开集. 闭区间不是R中的开集实数空间上的闭区间 [a,b]={x∈R|a≤x≤b} 不是R中的开集.因为对于x∈[a,b]而言,任何 ε>0,B(x,ε)包含于 [a,b]都不成立. 半开半闭区间、无限闭区间都不是R中的开集半开半闭的区间 (a,b]={x∈R|a<x≤b},[a,b)={x∈R|a≤x<b} 无限的闭区间 [a,∞)={x∈R|x≥a},(-∞,b]={x∈R|x≤b}等 都不是R中的开集. |
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