基本概念

定义

注解(实数空间R中的开区间都是开集 闭区间不是R中的开集 半开半闭区间、无限闭区间都不是R中的开集)

基本概念

开集是拓扑学里最基本的概念之一。

假设X是一个集合， 如果存在一系列X的子集合 （a∈I, I是下标集）满足下面的条件，那么每个这样的子集就称为X的一个开集，X称为拓扑空间：

（1）X=∪U_a (即X是所有U_a的并)；

（2）X中任何两个这样的子集合的交也落在I中；(即a∈I,b∈I,a∩b∈I)

（3）X中任何多个这样的子集合的并也落在I中。(即a∈I,b∈I,a∪b∈I)

在实数轴上，最常见的开集就是开区间。

定义

设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个开集．

注解

实数空间R中的开区间都是开集

设a，b∈R，a<b．我们说开区间

（a，b）={x∈R|a<x<b}

是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令

ε=min{x-a，b-x}，

则有x的邻域B（x，ε）=（x-ε,x+ε）包含于（a，b）．

也同样容易证明无限的开区间

（a，∞）={x∈R|x>a}，（-∞，b）={x∈R|x<b}，（-∞,∞）=R

都是R中的开集．

闭区间不是R中的开集

实数空间上的闭区间

[a，b]={x∈R|a≤x≤b}

不是R中的开集．因为对于x∈[a，b]而言，任何

ε>0，B（x，ε）包含于 [a,b]都不成立．

半开半闭区间、无限闭区间都不是R中的开集

半开半闭的区间

（a，b]={x∈R|a<x≤b}，[a，b)={x∈R|a≤x<b}

无限的闭区间

[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}等

都不是R中的开集．