开集是拓扑学里最基本的概念之一。
假设X是一个集合, 如果存在一系列X的子集合 (a∈I, I是下标集)满足下面的条件,那么每个这样的子集就称为X的一个开集,X称为拓扑空间:
(1)X=∪U_a (即X是所有U_a的并);
(2)X中任何两个这样的子集合的交也落在I中;(即a∈I,b∈I,a∩b∈I)
(3)X中任何多个这样的子集合的并也落在I中。(即a∈I,b∈I,a∪b∈I)
在实数轴上,最常见的开集就是开区间。
设A是度量空间X的一个子集.如果A中的每一个点都有一个邻域包含于A,则称A是度量空间X中的一个开集.
设a,b∈R,a<b.我们说开区间
(a,b)={x∈R|a<x<b}
是R中的一个开集.这是因为如果x∈(a,b),若令
ε=min{x-a,b-x},
则有x的邻域B(x,ε)=(x-ε,x+ε)包含于(a,b).
也同样容易证明无限的开区间
(a,∞)={x∈R|x>a},(-∞,b)={x∈R|x<b},(-∞,∞)=R
都是R中的开集.
实数空间上的闭区间
[a,b]={x∈R|a≤x≤b}
不是R中的开集.因为对于x∈[a,b]而言,任何
ε>0,B(x,ε)包含于 [a,b]都不成立.
半开半闭的区间
(a,b]={x∈R|a<x≤b},[a,b)={x∈R|a≤x<b}
无限的闭区间
[a,∞)={x∈R|x≥a},(-∞,b]={x∈R|x≤b}等
都不是R中的开集.