简介

性质

几何意义

绝对值重要不等式

绝对值不等式解法

简介

在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

2.|a|<|b| 可逆 a&sup2;;<b&sup2;;

另外

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。

几何意义

1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。 2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

绝对值重要不等式

我们知道

|a|={a，(a>0)， a，（a=0)， ﹣a，（a<0)，}

因此，有

﹣|a|≤a≤|a| ......①

﹣|b|≤b≤|b| ......②

同样地

①，②相加得

﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b| ......③

易得，当且仅当ab≥0时，③式等号成立。由③可得

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|......④

即 |a|-|b|≤|a+b| ......⑤

对④式，由上面知，当且仅当(a+b)(-b)≥0时等号成立，所以⑤式等号成立的充要条件是b(a+b)≤0。

综合③，⑤我们得到有关绝对值（absolute value)的重要不等式

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

绝对值不等式解法

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值的符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二：其一为平方，其二为讨论。所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2;=9，绝对值符号没有了！所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！以下，具体说说绝对值不等式的解法。首先说“平方法”。不等式两边可不可以同时平方呢？一般来说，有点问题。比如5>3，平方后，5^2;>3^2;，但1>-2，平方后，1^2;<(-2)^2;。 事实上，本质原因在于函数y=x^2;在R上不单调。但我们知道，y=x^2;在R+上是单调递增的，因此不等式两边都是非负时，同时平方，不等号的方向不变，这是可以的。这里说到的单调性的问题，是高一,二数学的重点内容，现在不明白可以跳过，到时候可一定要用心听! 有初中数学的基础，也应该明白，对两个非负数来说，大的那个数，它的平方也相应会大一些;反过来，平方大一些的数，这个数本来也会大一些。比如|2x-1|≥1，两边同时平方，可得(2x-1)^2;≥1，整理得4x^2;-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1。