三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆. 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。

证明

第二种简单的证法

历史

性质

证明

如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。

连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。

显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。

又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。

综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。

接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。

位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。

这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。

第二种简单的证法

作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，

AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N,

垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R

（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）

证明：（由中位线）PM平行CH，LM平行AB，又CH垂直AB∴PM垂直LM，又PD垂直LD，∴PMDL共圆。

（由中位线）PR平行AC，LR平行BH，BH垂直AC，所以PR垂直LR∴PMRDL五点共圆。

PE为直角三角形AHE斜边中线，角PEA等于PAE，同理角LEC等于LCE所以角PEL等于180减去PEA,LEC等于90°，∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径，

所以PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心

下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点

O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PH

OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点

历史

九点圆是几何学史上的一个著名问题。最早提出九点圆的是英国的培亚敏·俾几（Benjamin Beven），问题发表在1804年的一本英国杂志上。第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列（1788-1867）也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工（1771-1859）与彭赛列首先发表的。一位高中教师费尔巴哈（1800-1834）也曾研究了九点圆，他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里，文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质（如下列的性质3）故有人称九点圆为费尔巴哈圆。

性质

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。

5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。

九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。

设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。