猜想提出

定理证明(公式Ⅱ 公式Ⅲ 证明一般情况)

猜想提出

由fxccommercial 提出，系fxccommercial 本人发现并归纳整理成为一个新的数学定理猜想（2006.09.27）。这个公式描述的是，从大到小排列的n+1个等差数列，对每个数取n次方，用(-1)^n*C(n,k)做系数，实现奇偶项数的差项和，则这列数的和为n!，目前fxccommercial 已得到一个关于他的推论，经验证是正确的。历史上并没有人得到过类似的公式，可以认为它是人类对数学的又一个深刻的认识，但目前关于这个定理的证明尚无人能给出，笔者期待这个定理证明的解决。

约定∑_k=0_n 表示对从0到n的n+1项求和,则该定理表述为：

公式Ⅰ ∑_k=0_n (-1)^k*C(n,k)*(a-m*k)^n = m^n*n! (a,m属于R; n为正整数)

n^k：n的k 次方；

n!：n的阶乘；

C(n,k)：组合数，表示n个元素里取k个元素的组合种类数。

定理证明

我在几天前搜索阶乘数（完全的另外一个概念）时，看到了此词条，扫了一眼，和女友聊天时提到了该词条，第二天她告诉我原定理（a=0时）可以用等价概念的方法来证明，我整理了一下在此给出具体的证明过程。

首先，我们把原公式稍作修改：两边同时除以m^n，然后把因子(a/m-k)取相反数，使k的系数为正，最后令b=a/m，则公式Ⅰ等价化为：

公式Ⅱ

∑(-1)^(n-k)*C(n,k)*(k-b)^n = n! (n为正整数，∑是关于k从0到n求和，b是任意实数)

现在，我们来看另外一个问题：有n个数字，n个位置，则这n个数字可重复的排列在这n个位置上，其排列数为n^n，我们把所有的这些排列看成一个总的集合T。设Ai 表示不包含数字i 的所有排列组成的集合，则容易得Ai 的大小 |Ai | = (n-1)^n，1=< i <=n。设集合F是这n个Ai 补集的交集，即F=∩￢Ai，则在这里F正好表示的是n个数字全排列组成的集合（大小为n!）。利用摩根公式有：

公式Ⅲ

F=∩￢Ai=￢(∪Ai)=T\\(∪Ai) ，∩、∪是关于i 从1到n求交、并。

我们来看集合∪Ai 的大小，根据集合的容斥原理有：

|∪Ai | = ∑ |Ai | - ∑ |Ai ∩Aj | + ∑ |Ai ∩Aj ∩Ak | - ... + (-1)^(n-1)* |A1 ∩A2 ∩...∩An |

∑ |Ai ∩Aj |，Ai ∩Aj 表示不包含i 和j 这两个数字的排列（大小为(n-2)^n），则∑ |Ai ∩Aj | = C(n,2)*(n-2)^n，同样的也可得出其他项的数值，所以：

|∪Ai | = C(n,1)*(n-1)^n - C(n,2)*(n-2)^n +...+ (-1)^(n-1)*C(n,n)*0^n = ∑(-1)^(n-1-k)*C(n,k)*k^n ，∑是关于k从0到n-1求和。

对公式Ⅲ两边求集合大小：

n! = |F | = |T\\(∪Ai) | = |T | - |∪Ai | = ∑(-1)^(n-k)*C(n,k)*k^n ，∑是关于k从0到n求和。

这就证明了公式Ⅱ b=0时的情形，

证明一般情况

设函数f(n,r)=∑(-1)^(n-k)*C(n,k)*k^r ，其中r 为非负整数，上面的证明已经得到当r =n时，f(n,r)=n!，下面我们来证明当0=< r <= n-1时，f(n,r)=0。方法和上面的方法相同，只是我们现在考虑的不是有n个位置，而是有r 个位置且r <= n-1，我们可以得到：

f(n,r) =∑(-1)^(n-k)*C(n,k)*k^r = |F |

那么，根据鸽笼原理：在r <=n-1个位置放这n个数字，则至少有两个数字相同，而集合F中的元素（排列）各个位置的数字是要互异的，也就是说集合F为空集，则|F | = 0，即f(n,r)=0。

现在我们将公式Ⅱ的(k-b)^n用二项式定理展开，第一项不含有b求和后等于n!，而k的次数r 小于等于n-1的那些项求和含有因子f(n,r)=0，因而和b的值无关，就此得到最终结果：∑(-1)^(n-k)*C(n,k)*(k-b)^n = n! (n为正整数，∑是关于k从0到n求和，b是任意实数)。

证毕