角平分线

角平分线长公式描述(版本一 版本二)

角平分线长公式证明(法一 法二)

角平分线

角平分线是将某一只角平分为两相等之部分的线段。

角平分线长公式描述

版本一

在 ABC中, 角A的角平分线记为ta, 角B的角平分线记为tb, 角C的角平分线记为tc, 它们长度的公式为:

ta=2/(b+c)*√bcs(s-a) tb=2/(a+c)*√cas(s-b) tc=2/(a+b)√abs(s-c)

版本二

三角形ABC角平分线AD，D在CB上．设AB =kBD，AC=kCD，BD=p，CD=q．则AD=（k*k－1）*a*b

角平分线长公式证明

法一

∵∠ABE=∠EBC BE为∠ABC的角平分线 ∴BE=tb ∵∠AEB+∠CEB=180° (直线上的邻角) ∴∠AEB=180°-∠CEB ∴sin∠AEB=sin(180°-∠CEB) ∴sin∠AEB=sin∠CEB ∵∠ABE=∠EBC (已知) ∴sin∠ABE=sin∠EBC &sin∠AEB=sin∠CEB (已证) ∴x/c=y/ax/a=y/c(更比定理) (x+y)/y=(c+a)/a(合比定理) b/y=(c+a)/a∴y=(a*b)/(c+a)(1) 在BCE中, tb^2=a^2+y^2(余弦定理)...(2) (∵) (余弦定理)...(3) ∴把以上(1)式及(3)式代入(2)式 ∴ 化简之, 得: 令s=半周长, Q.E.D.

同理, 可证得其他两式

三角形ABC的角平分线为AD，则AD^2=（AB+BD）（AC-CD）=（AB-BD）（AC+CD）

法二

可由斯特瓦尔特定理证明