基本概念

基本方法(分组法 列表法)

基本概念

解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式。常用的解法有化为不等式组法、列表法和根轴法（串根法）来求解。

基本方法

分组法

此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法

例题解不等式 x（3x+2x-8）（1+x-2 x）≤0

解： 原不等式同解于 x（3x-4）（x+2）（2x+1）（x-1）≥0

先解不等式 x（3x-4）（x+2）（2x+1）（x-1）≥0 （*）同解于

x（x-4/3）（x+2）（x+1/2）（x-1）>0

由于 x-4/3< x-1<x< x+1/2< x+2

（1） x-4/3>0即x>4/3；

（2）, x-1<0,x>0即0<x<1；

（3） x+2>0,x+1/2<0，即-2<x<-1/2。

所以，（*）的解是-2<x<-1/2或0<x<1或x>4/3.那么，原不等式的解是-2≤x≤-1/2或0≤x≤1或x≥4/3。

列表法

解题步骤是：

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；

②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；

③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；

④看下面积的符号写出不等式的解集.

例题解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；

解：①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为：-2，1，3；

③列表如下：

　x<-2 　-2<x<1　1<x<3　x>3

x+2　-　+　+　+

x-1　-　-　+　+

x-3　-　-　-　+

各因式积　-　+　-　+

④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}.

根轴法

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

注意：奇穿偶不穿

例题解不等式：(x-2)(x-3)(x+1)<0.

解：①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；

③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.

说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.