极坐标法概述

意义

极坐标下的导数的几何意义

极坐标方程(圆 直线 玫瑰线 阿基米德螺线 圆锥曲线 其他曲线)

应用(行星运动的开普勒定律 极坐标法测定界址点)

其它坐标系

极坐标法概述

极坐标，平面坐标的一种，利用某点到原点的距离和角度来确定这一点位置（定位）。主要用于解决几何中的曲线方程。在几何数学及天体物理学中应用广泛。

不等同于笛卡尔直角坐标系中采用两个正交轴的垂直投影进行定位（x,y），极坐标没有X、Y轴，,坐标中某点表示为 D<DEGREE(即距离<角度)，这里角度方向，以水平线为0°或360°（即时钟的3:00时针方向），逆时针方向为正方向。如100<-30，即在顺时针30°（时钟的4点时针方向），距离原点100个单位的点。

意义

用极坐标解决几何问题的方法。在直角坐标系中（x,y），x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替，ρ=(x^2+y^2)^0.5,从而得到新的方程。这样的方程常常用来解决曲线问题，如椭圆曲线、纽线、螺线等等，可以使解题更加清晰简便。

极坐标下的导数的几何意义

设曲线C的极坐标方程为r=r（θ）。

则C的参数方程为{ x=r（θ）cosθ

y=r（θ）sinθ

其中θ为极角。

有参数方程求导法，得曲线C的切线对x轴的斜率为 yˊ=rˊ(θ)sinθ+r(θ)cosθ∕rˊ(θ)cosθ-r(θ)sinθ=rˊtanθ+r∕rˊ-rtanθ

设曲线C在点M（r，θ）处的极半径OM与切线MT间的夹角为Ψ，则Ψ=α-θ（如图）

故有 tanΨ=tan（α-θ）=yˊ-tanθ∕1+yˊtanθ

将yˊ代入，化简得 tanΨ=r（θ）∕rˊ（θ）

这一重要公式表明：在极坐标系下，曲线的极半径r（θ）与其导数rˊ（θ）之比等于极半径与曲线切线之夹角的正切。

极坐标方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(−θ) = r(θ)，则曲线关于极点(0°/180°)对称，如果r(π-θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称，如果r(θ−α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

圆

在极坐标系中，圆心在(a, φ) 半径为 R的圆的方程为:r^2 + a^2- 2*r*a*cos(θ - φ) = R^2

该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。

直线

经过极点的射线由如下方程表示 ：

θ = φ，

其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。 这些在点(r0, φ)处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为r(θ) = r_0*sec(θ - φ)。

玫瑰线

极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：

r(θ) = a*cos kθ 或

r(θ) = a sin kθ，

如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘(disc)状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线

右图为方程 r(θ)= θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线。

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:r(θ) = a+bθ，

改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

圆锥曲线

圆锥曲线方程如下：

r = l / (1 + e*cosθ)

其中l表示半径，e表示离心率。 如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。

或者r= e*p / (1 + e*cosθ)

其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。

其他曲线

由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系(笛卡尔形式)简单得多。比如双纽线, 心脏线。

应用

行星运动的开普勒定律

极坐标提供了一个表达开普拉行星运行定律的自然数的方法。

1.开普勒第一定律：认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。

2. 开普勒第二定律，即等域定律：认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的，即ΔA/Δt是常量。这些等式可由牛顿运动定律推得。在开普勒行星运动定律中有相关运用极坐标的详细推导。

极坐标法测定界址点

已知点A上安置在经纬仪等仪器，后视另一已知点B定向，然后观测至各界址点的方向,从而可算得各方向与后视方向的夹角&szlig;，用测距仪测量测站点至各界址点的距离D。

图2极坐标法测定界址点

采用极坐标法测量时，界址点坐标可按下式计算：

其中：Xi 、Yi——待测界址点坐标

XA、YA——测站点已知坐标

D——测站点至待测界址点距离

α0——已知方位角

βi——观测角

其它坐标系

直角坐标

互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系

球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。

柱坐标系

柱坐标系中的三个坐标变量是 r、φ、z。与直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z变量。各变量的变化范围是：

r∈[0,+∞), φ∈[0, 2π], z∈R 其中　x=rcosφ y=rsinφ z=z