| 词条 | 极小曲面 |
| 释义 | 面积在法向变分下达到临界值的曲面，也即平均曲率（见曲面）为零的曲面。 简介极小曲面 minimal surface 平均曲率为零的曲面。平均曲率定义为：其中k1，k2表示两个主曲率。给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。 研究著名的普拉托实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中，然后取出来，由于表面张力的作用，在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。这种表面积最小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。这个问题可以用变分法来解。 从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h呏0。因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。 在三维欧氏空间E3中，若一张曲面可用方程z=z(x,y)来表示，则称它为图，或非参数化曲面。由极小条件h=0,E3中极小图的z(x,y)满足下述二阶非线性椭圆型微分方程： 通常称它为极小曲面方程。 E3中极小曲面的重要例子有：①极小的可展曲面是平面；②非平面的极小直纹面是正螺面；③悬链面是仅有的极小旋转曲面；④曲率线为平面曲线的极小曲面是恩纳佩尔极小曲面；⑤舍克尔极小曲面是极小的螺旋面，它可以看作具有实母曲线的平移极小曲面。一般地，E3中极小曲面的坐标可表示为等温参数（使曲面第一基本形式中的E=G，F=0的参数）的调和函数。E3中不存在紧致无边界的极小曲面。 历史上极小曲面的发展是环绕普拉托问题而展开的，这实质上是一个非线性的椭圆型边值问题。早在1930～1931年，T.拉多和J.道格拉斯就各自独立地在广义解的范围内解决了这个问题,他们得到如下的存在性定理:给定任一可求长的空间若尔当闭曲线Γ，总存在一张以Γ为边界的广义极小曲面。这里可能有孤立的分支点，在分支点处曲面不是浸入。直到1970年，R.奥斯曼才证明了拉多和道格拉斯的解是处处内部正则的，即不会有分支点。后来丘成桐等又解决了何时浸入化为嵌入的问题。 除了这类存在性问题外，还有不少属于惟一性方面的问题，其中最著名的是伯恩斯坦定理：E3中完备的极小图必是平面。 正如用导数来确定函数的极值一样，面积泛函的第一变分为零只是面积最小的必要条件，要进一步确定最小面积的曲面，还必须考虑第二变分。在任何法向变分下，使面积泛函的第二变分恒非负的极小曲面称为稳定极小曲面。E3中极小图是稳定的。因此，从伯恩斯坦定理自然产生这样的猜想：E3中完备的稳定极小曲面是平面。这个命题已被D.菲舍尔-科尔布里和 R.舍恩所证明，稍后，M.杜卡莫和彭家贵一起也独立地予以证明。对于伯恩斯坦定理在高维空间的推广，人们很早就提出这样的问题：设是En的完备极小超曲面,那么函数z(x1,x2,…,xn)是否必是线性的？1965年，E.迪乔吉证明n=3是对的；1966年,F.J.阿姆格伦证明n=4也是对的。1967年，J.西蒙斯证明当 n≤7时，都是对的。出乎意料的是，E.邦别里、E.迪乔吉和E.朱斯蒂在1968年联合证得,n=8时，就是不对的。因此，这是一个十分有趣的问题。 关于极小曲面及其在高维流形的推广，陈省身、项武义、丘成桐等都作出了重要贡献。 同名图书图书信息书 名：极小曲面 作 者：陈维桓 著 出 版 社：大连理工大学出版社 出版时间：2011-5-1 I S B N：9787561161463 页 数：175 开 本：32开 定 价：25.00元 内容简介陈维桓所著的《极小曲面》的目的是介绍3维欧氏空间中极小曲面的概念、典型例子和性质，以及一些基本问题和进展。我们假定具备初等微积分的知识的读者，能够读懂本书的大部分，因此我们对曲面的微分几何只是做了简要的介绍，对所引用的定理大多做了准确的叙述。为了便于读者能够进一步钻研感兴趣的课题，在书后列出了有关的参考文献。我们力求使本书的叙述明白易懂，生动流畅，并注意科学性。 作者简介陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊教授读研究生。1980年起长期从事和主持北京大学微分几何方向的研究工作和教学工作，直到2003年在北京大学退休。在著名学术期刊上发表各种研究论文近50篇；出版著作有：《微分几何讲义》(与陈省身合著)，《黎曼几何选讲》(与伍鸿熙合著)，《微分几何初步》，《微分几何》，《黎曼几何引论》(上、下册，与李兴校合著)(以上均为北京大学出版社出版)；《微分流形初步》，《微分几何例题详解和习题汇编》，以及《流形上的微积分》(以上均为高等教育出版社出版)。 图书目录编写说明 作者前传 一 肥皂膜实验 二 极小曲面方程 三 曲面的面积 四 曲面的曲率 五 再论极小曲面方程 六 极小曲面的Weierstrass公式 七 经典极小曲面的Weierstrass表示 八 极小曲面的一般性质 九 Plateau问题 十 极小曲面的Bernstein定理 十一 完备嵌入极小曲面的新例子 结束语 参考文献 |
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