英文名称：

概况：

英文名称：

积分中值定理

mean value theorem of integrals

概况：

积分中值定理：

若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立

∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b)

证明：

因为 f(x) 是闭区间 [a,b]上的连续函数， 设 f(x) 的最大值及最小值分别为 M及 m ，于是

m≦f(x)≦M

将上式同时在 [a,b]区间内积分，可得

m(b-a)≦∫下限a 上限 b f(x) dx≦M(b-a)

即 m≦∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)≦M

因为 m≦f(x)≦M 是连续函数， 由介值定理，必存在一点 ξ， 使得

∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)= f(ξ)

即 ∫下限a 上限 b f(x) dx= f(ξ) (b-a)