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1、谓积累时差。《谷梁传·文公六年》：“闰月者，附月之余日也，积分而成于月者也。”范宁注：“积众月之余分，以成此月。”

2、元、明、清三代国子监考核学生学习成绩、选拔人才的方法。

《元史·选举志一》：“泰定三年夏六月，更积分而为贡举，并依世祖旧制。”

明·苏伯衡《送楼生用章赴国学序》：“业成然后积分，积分及格然后私试。”

《清史稿·选举志一》：“积分历事之法，国初行之。监生坐监期满，拨历部院练习政体。”

3、比赛分数的总和；一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。像各种电子邮箱，qq等。

4、主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强。

定义

不定积分

定积分

定积分与不定积分关系

微积分学

有关公式

◎ 定义

设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。

记作∫f(x)dx。其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。

也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数。

◎ 不定积分

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是函数的微小的增量，函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量，得到的就是函数的微分；它近似等于函数的实际增量（这里主要是针对一元函数而言)。而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。

实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。

用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c

◎ 定积分

而相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为∫[a:b]f(x)dx 。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

微积分的最初发展中,定积分即黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。而实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况,如勒贝格积分.

用公式表示是：∫ [a,b]f(x)dx=lim(n->∞)∑(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n

◎ 定积分与不定积分关系

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？

定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

若F'(x)=f(x)

那么∫[a:b]f(x)dx =F(a)-F(b)

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

Φ(x)=∫[a:b]f(t)dt

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

◎ 微积分学

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中：[F(x) + C]' = f(x)

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

积分 integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）= f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作 。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则 ，其中C为任意常数。例如， 定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b]分成n等分：a=x0<x1<…<xn=b，取ζi∈[xi-1，xi]，记Δxi=xi－xi-1，，则pn为S的近似值，当n→+∞时，pn的极限应可作为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在[a，b]上的函数y=f（x），作分划a=x0<x1<…<xn=b，若存在一个与分划及ζi∈[xi-1，xi]的取法都无关的常数I，使得,其中则称I为f（x）在[a，b]上的定积分，表为即 称[a，b]为积分区间，f（x）为被积函数，a，b分别称为积分的上限和下限。当f（x）的原函数存在时，定积分的计算可转化为求f（x）的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式。

以上讲的是传统意义上的积分也即黎曼积分。

◎ 有关公式

f(x)　∫f(x)dx

k　kx

x^n　[1/(n+1)]x^（n+1）

a^x　a^x/lna

sinx　-cosx

cosx　sinx

tanx　-lncosx

cotx　lnsinx

secx　ln(secx+tanx)

cscx　ln(cscx-cotx)

(ax+b)^n　[(ax+b)^(n+1)]/[a(n+1)]

1/(ax+b)　1/a*ln(ax+b)

板球积分赛

扫射小鬼子积分版

二战前线2积分版

夏日潜水找贝壳积分版

◎ 板球积分赛

游戏简介：这是个板球游戏，需要玩家将板球打到分数比较高的位置，记住千万不要将球漏过或打到OUT的区域，那样就会出局。

游戏操作：游戏中使用鼠标点击打击板球。

◎ 扫射小鬼子积分版

游戏简介：一款射击小游戏，小鬼子发动了侵略战争！拿起武器看谁消灭的鬼子最多！注意不断购买新的枪械和军装。

游戏操作：键盘AD键控制左右移动，W键跳跃，鼠标控制射击，按空格键购买装备，数字键1-4换武器。

◎ 二战前线2积分版

游戏简介：这个是完整版。在欧洲成功地保护了盟军后，游戏中的英雄在非常受欢迎的游戏Commando结束的地方继续战斗，去亚洲追击敌人！ 更多的使命、更多的敌人、更大的冒险、更猛烈的炮火。

游戏操作：W.A.S.D移动，鼠标射击。Q.E切换武器。

◎ 夏日潜水找贝壳积分版

游戏简介：收集海底的财宝送到海面上，绿色能量槽表示玩家剩下的氧气，氧气不足必须回到水面上来，不要碰到水母、电鳗和鲨鱼（有时海底漂来“O2”，抓住可以获得氧气）。为了保护自然环境，抓住海里漂浮的可乐罐等垃圾可以额外得分。

游戏操作：玩家1：盘方向键控制人物移动。玩家2：WSAD控制人物移动。