定义

性质

构造方法

奇点不变量

定义

基本闭链（fundamental cycle）是和负定曲线相关的一个重要概念，它在一定程度上反映了负定曲线的拓扑结构。

设X是光滑代数曲面， C是一条负定曲线，写为 C=∑C_i, 其中C_i是第i个不可约分支， 下标i从1取到r. 换句话说，C是由r条不可约的曲线组成的。

阿廷( Artin )给了一个判定负定曲线的方法。 它证明，如果C是负定的,则曲面上上必存在一个支集（support, 也称支撑集）为C的除子 Z, 使得ZC_i≤0, 对C的任何不可约分支C_i成立， 且自交数 Z^2<0。 反之，要是有这么一个除子Z,那么C就是负定的。

有趣的是， 上面满足条件的Z中必有一个最小者。 这个最小的除子就成为C上的基本闭链 （fundamental cycle）。

性质

设Z是C上的基本闭链， 那么Z有如下性质：

(1) 算术亏格 非负， 即 p_a(Z)≥0.

(2)Z>0是有效除子.

(3) ZC_i≤0, 对C的任何不可约分支C_i成立， 且自交数 Z^2<0.

(4) 设W也是一个支集为C的除子, 且满足WC_i≤0, 对C的任何不可约分支C_i成立， 那么必有W≥Z.

(5)p_a(Z)=0, 当且仅当 C是有理曲线，换句话说，就是C能收缩成有理奇点。

构造方法

H.Laufer 给出了一种构造基本闭链的方法。任取C中的分支C1, 记Z1=C1. 如果存在一个分支C2,使得Z1*C2>0, 那么就记Z2=Z1+C1.

如果存在一个分支C3,使得Z2*C3>0, 那么就记Z3=Z2+C2, 以此类推。。。。。。有限步后此过程必会终止， 最后一项Zk就是我们要的基本闭链。

奇点不变量

由上述的阿廷的结论， 一个代数曲面的奇点在做奇点解消后，爆发出的例外曲线 是负定曲线， 它唯一确定了基本闭链Z. 虽然奇点解消过程不是唯一的（极小解消是唯一的）， 但是人们发现 自交数 Z^2 和 算术亏格 p_a(Z) 是由奇点唯一确定的，不依赖于解消过程。这两个量就是奇点的数值不变量。

阿廷 证明， 有理奇点 的重数恰好是(-Z^2 ).