黄用诹(Huang Yongzhou)(1913.6.2—— ) 数学家。生于广州，曾任香港大学副校长，主要从事微分几何工作，是著名的几何学家和教育家。黄用诹自幼聪颖好学，很早就在几何学方面显示出天赋。在微分几何方面有杰出成就。研究领域涉及空间曲线的充要条件，黎曼几何与伪黎曼几何，广义克利福德平行等，黄用诹对香港大学数学系，香港数学会及东南亚数学的发展都作出过重要贡献。

人物生平(童年 大学 留学 深造 延长进修 学术交流)

学术贡献(改进了一些著名的定理 充实了黎曼几何的内容 开创了循环张量的整体理论 等斜平面与广义克利福德平行 统一处理格拉斯曼流形和嘉当域的微分几何 切丛上的微分几何)

人物年表

人物评价

人物生平

童年

黄用诹，1913年6月2日生于广东省广州市。其父黄式渔，字樵仲，为广东高等师范（即中山大学前身）之中国文学教授。黄用诹小学三年级时父亲去世。

黄用诹以优异的成绩，特别在数学方面，完成了小学及初中课程。初中毕业后，他通过入学考试跳过一级，进读两年制的大学预科班。

大学

1931年他考入中山大学数学天文系。当时他那一级只有4名学生，两名主修天文，两名主修数学。但教授却有4位，即何衍睿，刘俊贤，袁武烈及胡金昌。在中山大学四年期间由于他成绩优异，故都免交学费。且于1935年大学毕业时他同时取得优学奖及论文奖。

1935年毕业后，他除了留校当助教外，由袁武烈推荐兼在广东省陆地测量学校任教。

留学

1938年6月，中英庚款留英公费奖学金考试在中国五大城市同时举行。原定在广州举行的考试，因当时广州正受日本飞机的空袭，改在距广州不远的香港大学校内举行。考生共54人，考试3天，每天考两科，每科考3小时。考试结果3个月后在全国各大报章公布。黄用诹为全国唯一考取数学科奖学金者。随后他便乘客轮赴英国伦敦大学之英皇学院跟随E.T.戴维斯（Davies）学习微分几何。他只用一年零九个月的时间就完成了博士学位的课程。其间除了完成了博士论文外，还有4篇著作被水准甚高的数学刊物接受发表。

由于奖学金是为期3年，他特别获得批准可以用余下的时间赴美国继续做研究。他分别访问了普林斯顿大学及麻省理工学院，因而认识了一些著名的数学家如L.P.艾森哈特（Eisenhart），D.J.斯特罗伊克（Struik）及N.维纳（Wiener）等人。

深造

1941年奖学金期满后，由于当时太平洋战争日益激烈不能回国，黄用诹惟有继续留在美国。1943年他由麻省理工学院转往宾夕法尼亚大学做研究及任教，在此期间，黄用诹初遇华裔数学大师陈省身，之后两人成为好友，并时常得他的指导和帮忙。1945年黄用诹与华侨陈桑莲女士结婚。其后两人育有两子，即可范及俊丰。

1947年黄用诹返回中山大学任教授，学生中包括陆启铿及梅尚明两人。同年由于他在黎曼几何方面的重大贡献，获得伦敦大学颁发的科学博士学位。翌年他接受香港大学的聘请成为该校数学系战后第一位教授兼系主任。当时该系除了他之外，只有一位讲师及一位助教，而整间香港大学亦只有两名华籍教授。

在香港大学就任后，黄用诹除了继续努力研究外，还致力于提高数学系的学术水平。他首先发信到英国、美国及加拿大的一些著名的大学查询有关的教学大纲及课本，作为课程改革的参考。他又向学校建议聘请英国一些著名大学的教授为校外主考，以便能比较香港大学及其他大学的学术水平。那时的香港大学规模较小，为了方便，经常是由校长去英国亲自聘请教师。黄用诹建议学校应成立一个教师遴选委员会去主持聘请教师的工作。其后数学系能聘请不少优秀的教师与此不无关系。黄用诹就任时，大学图书馆只有两种较次要的数学刊物，他向学校争取增订不少重要的刊物，为以后数学系的师生从事研究打下基础。

延长进修

黄用诹教授中英庚款留英公费奖学金入选证书

黄用诹深切明白学术进修对科研工作的重要性，因此他特地向校长申请了为期一年的进修假期，于1958至1959年到美国普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study）及芝加哥大学访问及做研究。其间获得不少重要的数学结果。回来后他更体会到进修假期的重要，因此向学校建议设立进修假期的制度（当时只有外籍教师才能享有所谓[探亲假期]），经过他及其他一些人的努力，他的建议终被采纳。

黄用诹一直都很关心香港大学以及整个香港的教育发展，他于1950至1953年任香港大学工程学院院长，于1963至1966年任香港大学副校长。1959年香港政府为了提高香港其他专业学院的水平，同时也为将于1963年建立的第二所大学（香港中文大学）打下基础，成立了统一文凭委员会以统筹其他大专以上学院的考试事宜。该委员会做了大量提高学术水平的工作，而黄用诹被选为主席，直至1963年该委员会解散为止。1964-1991年他任香港中文大学校董。此外1963-1990年他亦任香港著名中学圣保男女中学校董。

学术交流

1966至1967年及1970年黄用诹先后两次出访美国及加拿大多间大学后，加强了他对学术交流的信念。在他的倡议下，成立了东南亚数学会，而他成为1972至1974年度的创会会长。之后也是在他倡议下，香港数学会于1979年成立。自此他即为该会的名誉会长。

1973年黄用诹年届退休，但由于学校的挽留，他再次担任教授之职3年，自1976年起他获香港大学荣休教授衔。

为了表彰黄用诹对社会及教育的贡献，1963年他获英女皇颁授O.B.E.勋衔。1968年获香港大学颁授荣誉科学博士学位。1979年获香港中文大学颁授荣誉文学博士学位。

由于黄用诹悉心致力于教育事业数十年，他培养了不少杰出的数学工作者，其中在世界最著名学府任教的大不乏人。为了祝贺老师的80岁大寿，他们都踊跃投稿到由陈启元及瘳明哲主编的祝寿专著“Five Decades as a Mathematician and Educator——On the 80th Birthday of Professor Yung-Chow Wong”。该书已于1995年出版。

学术贡献

改进了一些著名的定理

黄用诹对数学的兴趣，始于他中学念平面几何的时期。在中山大学求学时，他即开始对有关三角形中许多有趣的定理，提出问题然后寻找答案，因而在这方面得出一些颇为深入的结论。及后在漫长的教学实践中，他对一些教科书的定理总是反复思索如何改进一些结果。

1941年，他在一篇他的早期著作中，叙述了一系列三角形的结果。其中一条定理是这样的：

定理1 给定三角形C1C2C3，若在任意一三角形A1A2A3的边上作三角形B1A2A3，B2A3A1，B3A1A2，则三角形B1B2B3与三角形C1C2C3相似的充要条件为：有一点D存在，使三角形B1A2A3等依次和三角形DC3C2等相似。

这定理包括了著名的迈内劳斯（Menelaus）定理为其特殊情形。在同一篇文章中，还有另一相似的定理，把切瓦（Ceva）定理视为其特殊情形的。

后来，黄用诹又环绕着其他较难的平面几何定理作了不少的研究。他推广了J.道格拉斯（Douglas）和B.H.诺伊曼（Neumann）1940年关于多边形的工作。他也曾启文讨论了X.莫利（Morley）关于三角形的三分角线定理的逆定理。

初等微分几何的教科书，常讨论空间曲线为球面曲线的条件。但这个提法并不完善，因为我们接触到的曲线，有时在某些点上k2为零。1963年，黄用诹给出以下较佳的提法。

定理2 空间曲线是球面曲线的充要条件是

（i）k1全不为零（因而定义了k2）时，及

（）存在实函数f适合

此定理为后来各方面研究球面曲线提供不少方便，这包括了S.布劳尔（Breuer）与D.高特莱布（Gottlieb）（1971）的工作，黄用诹自己进一步的工作，R.L.毕晓普（Bishop）（1975）的工作及E.克利切革（Kreyszig）与A.潘代尔（Pendl）在仿射微分几何方面的工作。

充实了黎曼几何的内容

在n维空间上给出二阶张量gij。若n×n矩阵[gij]是对称和正定的，就定义了一个n维黎曼空间。gij称为黎曼空间的度量。另一方面，假如[gij]是非退化和不定的，则称空间为伪黎曼空间。20世纪初爱因斯坦在创立他的相对论时，就使用了伪黎曼空间中称为张量分析的数学工具。因此，在20世纪二三十年代，黎曼空间和伪黎曼空间上的微分几何，成为了数学界的热门课题。

黄用诹的博士论文，题为“黎曼空间上的广义螺旋线”，完成于1940年。接着在整个40年代，他在黎曼空间和伪黎曼空间上作了多方面的工作。这包括广义螺旋线的理论，弗伦奈（Frenet）公式，补子空间，爱因斯坦（Einstein）空间的全脐点超曲面，保形欧氏空间的标度超曲面，拟正交标架，四维常曲率空间上的曲面理论等等。这些工作，大大地充实了当时黎曼几何的内容。

开创了循环张量的整体理论

设n维黎曼空间Vn的曲率张量为。对进行共变微分，得出它的共变导数。在1950年，1951年，H.S.罗斯（Ruse）及A.G.瓦尔克（Walker）对作了广泛研究。

在微分几何理论中，有一类比黎曼空间更广泛的空间，称为仿射联络空间。概括来说，在黎曼空间，我们是沿曲线上量度长度，而在仿射联络空间，我们是沿曲线把向量或张量平行移动。每一个黎曼空间可视为仿射联络空间，而在仿射联络空间我们可进行共变微分。黄用诹注意到（1）也可作为仿射联络空间的条件。但适合（1）的非黎曼的仿射联络空间是否真正存在呢？这问题在1953年黄用诹的一篇文章中，终于得到肯定的答案。

但由于当时未有适当的数学工具，对于这些新发现空间的研究停滞不前。这情形延至20世纪60年代初黄用诹建立了微分流形上循环张量的整体理论才有突破。

事实上，在20世纪50年代初期，微分几何研究的方向，已出现了根本的变化。人们把微分几何传统上研究的n维空间，糅合了拓扑空间的概念，得出一个新的研究对象，称为n维微分流形。这以前，人们研究的是微分流形的局部性质，而20世纪50 年代起则着重研究流形的大范围的性质，称为整体微分几何学。陈省身在这时期对整体微分几何作了开创性的工作。为了更好理解流形M，还要研究M上各点的各标架的全体。这集合FM是一个n+n2维的流形，称为M的标架丛。则M的张量场可看成FM上的一组函数。古典的仿射联络空间，现在给看成为流形M上给予一个线性联络。它把FM分拆为一些叫和乐丛的子流形。

此外，他还利用FM来叙述线性联络有循环曲率张量或循环挠率张量的充要条件。黄用诹后来还对无挠且具循环曲率张量的线性联络作了大量研究工作。

等斜平面与广义克利福德平行

设R2n为2n维实欧氏空间，在R2n上考虑两个n维平面A，B，它们之间有n个夹角。这些夹角完全决定了A，B在R2n上的相对位置。假如这n个夹角都相等，则称A，B为等斜的。

在四维空间R4上的曲面称为R曲面，是指在某正交坐标（x1，x2，x3，x4）下，曲面方程是x3=x3（x1，x2），x4=x4（x1，x2），而x3+ix4是x1+ix2的解析函数。S.克维涅夫斯基（Kwietniewski）（1902）有这样的定理：R4的曲面是R曲面的充要条件是其切平面都是等斜的。这定理成为黄用诹另一系列工作的开始。

为了考虑克维涅夫斯基定理在高维空间的情形，黄用诹系统地建立了R2n的n维平面的理论。这些工作收入在1961年美国数学会为其出版一本专著（memoir）。在该著作中关于等斜平面最重要的定理是这样的：

设在R2n上选定正交坐标系（x，y）=（x1，…，xn，xn+1，…，x2n），则任何包括y=0的极大的相互斜n维平面集合相合于以下n维平面集合：其平面的方程是

y=x（λ0I+λ1B1+…+λpBp），

式中各λ为参数常数，而（B1，…，Bp）是矩阵方程

Bh+B′h=0，，BhBk+BkBh=0，h，k=1，2，…，h≠k （3）的极大解。

方程（3）早在A.胡尔维茨（Hurwitz）二次型的工作已出现过。黄用诹找出了这方程组的所有极大解。因此对每个n，他能知道非相合的p个参数的极大相互等斜平面集合的个数。

由上述定理可得一些有趣结果。例如，假如Φ是一个p维极大相互等斜平面集合，则通过R2n的一组平面，最多只有Φ的一个n维平面。可以证明，经过一个一维平面有且仅有Φ的一个n维平面，只在R2n=R4，R8或R16时出现，且p=n。这三个情形，可看成是球面的霍普夫（Hopf）纤维化

S3→S2，S7→S4，S15→S8

在R2n上实现的情形。

等斜平面另一重要应用，是在椭圆几何上的。给出n维射影空间，可用适当方法定义两点距离，从而把它转为距离空间，称为n维椭圆空间ELn。1873年W.克利福德（Clifford）在EL3中发现一些有趣的平行性质，后来称为克利福德平行。差不多一百年来，一般的观点认为克利福德平行是EL3的孤立现象，在高维的EL”是没有类似性质的。

黄用诹在上述专著中，借助了R2n上两等斜平面来定义EL2n-1上两n-1维平面的克利福德平行。这样，他成功地把克利福德平行的现象，推广到任意维的EL2n-1上。受到他这工作的影响，1971年J.A.梯利尔（Tyrrell）和J.G.西坡尔（Semple）从复射影几何的观点出发，再度研究了广义克利福德平行这一现象。

黄用诹后来写了一本书，就R4上等斜2维平面和EL3上的克利福德平行，作了较简单的介绍。

统一处理格拉斯曼流形和嘉当域的微分几何

黄用诹1961年的专著面世后，带动了这方面的研究。1963 年J.A.沃尔夫（Wolf）把书中主要结果推广到复数域和四元数体上。后来D.B.夏皮罗（Shapiro）研究了示性数不等于2的任意域上的等斜平面。黄用诹后来则统一地发展了欧氏空间和伪欧氏空间的n维平面的几何，及格拉斯曼流形和嘉当域的微分几何。

设F是实数域R、复数域C或四元数体HoF上的n+m维向量空间，如加上一个正定的埃尔米特（Hermite）内积，则称为欧氏n+m维空间Fn+m。这空间上n维平面的全体，经适当处理，构成一个F维数是mn的微分流形，称为格拉斯曼流形Gn（Fn+m）。嘉当及后来K.莱希特魏斯（Leichtweiss）（1961）证明了当F=R或C时，Gn（Fn+m）有唯一的不变黎曼度量（G2（R4）除外）。黄用诹则用他的欧氏空间理论，重新在Gn（Fn+m）中定义黎曼度量：

首先，如R2n的情形，黄用诹证明了Fn+m上两个n维平面间有n个夹角。取Gn（Fn-m）中两个相邻元素A，B，它们是Fn+m上相邻的n维平面。设他们的夹角为dθ1，…，dθn。把A，B间距离定义为

（dθ1）2+（dθ2）2+…+（dθn）2 （4）

这时（4）可看成是Gn（Fn+m）上的黎曼度量，且对Gn（Fn+m）的运动群不变。在F=R或C时（G2（R4）除外）我们便得回嘉当及莱希特魏斯的不变黎曼度量。

这样看待Gn（Fn+m）的度量，优点在于它反映了流形上相邻两点作为Fn+m上相邻两n维平面的几何性质。在很多问题上，这带来了额外的方便。黄用诹用这方法得出很多Gn（Fn+m）的新的微分几何结果。

现在谈谈指标为m的伪欧氏空间。这是指域F上附有埃尔米特内积的n+m维向量空间，且存在n维平面而不存在n+1维平面使诱导至这些平面上的内积是正定的。当诱导至n维平面上的内积是正定时，我们称该平面为欧氏平面。

第一嘉当域DI（）是指上所有n维欧氏平面的全体。它是一个流形。若对上的n维欧氏平面加上其他限制，还可定义第二及第三嘉当域DⅡ（）及DⅢ（）。

下列4类嘉当域，DⅠ（），DⅡ（），DⅢ（）和DⅠ（）正是多复变数函数论中著名的4种典型域。这些典型域都存在唯一的不变黎曼度量，即著名的伯格曼（Bergman）度量。华罗庚及C.L.西格尔（Siegel）等对此有过研究。

黄用诹把处理Gn（Fn+m）的方法引申到这些嘉当域上来。他证明了上一对n维欧氏平面同样有n个夹角。于是利用（4），便可在各嘉当域上引进不变黎曼度量。在典型域上，由于不变黎曼度量的唯一性，黄用诹的方法给予伯格曼度量一个很好的几何解释。同样地，黄用诹得出很多嘉当域的新的微分几何结果。1969年，他证明了所有嘉当域（DⅡ（）及DⅢ（）除外）是爱因斯坦空间。当时很多专家对此是颇感惊讶的。

考虑n维流形M上各点的各切向量的全体。这集合TM是一个2n维的流形，称为M的切丛。由于M上的微分几何与TM上的微分几何关系密切，因此在20世纪60年代和70年代，人们对TM上的微分几何有很多研究，且在TM上构造了各式各样的黎曼度量，但总是看不到一个统一的构造TM上度量的方法。

切丛上的微分几何

在70年代中期，黄用诹与E.M.帕特森（Patterson）和莫锦屏在这方面也作了深入的研究。他们引入了TM上M张量和M联络两个概念。利用这些概念，他们得出一条关于TM上黎曼度量的结构的定理。从这定理可得出差不多所有已知的TM上的黎曼度量。此外，利用M张量和M联络，也可把TM上其他很多概念作较为简洁的处理。

人物年表

1913年6月2日 出生于广东省广州市。

1931-1935年 中山大学数学天文系，获理学士学位。

1935-1938年 任中山大学助教。

1938年 考取中英庚款留英公费奖学金，赴英国深造。

1940年 获伦敦大学哲学博士学位。

1940-1947年 先后在美国的普林斯顿大学，麻省理工学院，宾夕法尼亚大学做研究及教学。

1947年 获伦敦大学科学博士学位。

1947-1948年 任中山大学教授。

1948-1976年 任香港大学讲座教授，其中绝大部分时间兼任系主任。

1950-1953年 任香港大学工程学院院长。

1958-1959年 美国普林斯顿高等研究院访问研究员，并在芝加哥大学做研究。

1963-1966年 任香港大学副校长。

1964-1991年 任香港中文大学校董。

1966-1967年 赴美国加州大学，在伯克利及洛杉矶分校做研究。

1968年 获香港大学荣誉科学博士学位。

1970年 分别赴加拿大的加格利大学及美国的夏威夷大学做研究。

1972-1974年 东南亚数学学会的创会会长。

1976 香港大学数学系荣休教授。

1979年 获香港中文大学荣誉文学博士学位。

1979年 香港数学会荣誉会长。

2004.5.13 去世

人物评价

黄用诹教授不但是杰出的几何学家，而且还是杰出的教育家。他言传身教，培养了不少出色的数学家和数学教师，为香港及东南亚培养了大量的数学专门人才。在他的领导下，香港大学数学系取得了长足的进步。黄教授还是“东南亚数学会”、“香港数学会”的创始人，他促成了这两个学术组织的建立，促进了东南亚各地的学术交流。他被推选为“东南亚数学会”创会会长和“香港数学会”的荣誉会长。