环，本义指圆形而中间有孔的玉器，化学中多指由一圈晶元联结而成的结构或蛋白质的一种二级结构，另外环还是数学领域的一种专用术语。

基本资料

基本字义

详细字义

常用词组

数学定义(简介 （αα）b 理想 结构理论 左分式环 序环 发展概况)

基本资料

拼音：huán,

部首：王部外笔画：4总笔画：8

五笔86：GGI五笔98：GDHY仓颉：MGMF

笔顺编号：11211324四角号码：11190Unicode：CJK统一汉字U+73AF

基本字义

1.中央有孔的圆形佩玉：～佩。

2.圈形的东西：～形。连～。铁～。花～。耳～。

3.围绕：～视。～顾。～拜。～海。～球。～行（xíng）。日～食。

4.相互联系的许多事物中的一个：重要的一～。险象～生。

5.量词，用于记录射击环靶的成绩：今天打了十～。

6.姓。

详细字义

〈名〉

1.（形声。从玉,瞏huán声。本义：圆形而中间有孔的玉器）

2.同本义[jadebracelet]

环，璧也。——《说文》

肉好若一谓之不。——《尔雅·释器》。李注：“其孔及边肉大小适等。”

行步则有环佩之声。——《礼记·经解》

孔子佩象环五寸。——《礼记·玉藻》

闻水声，如鸣佩环。——唐·柳宗元《至小丘西小石潭记》

腰白玉之环。——明·宋濂《送东阳马生序》

3.又如：环佩（古人衣带上所系的佩玉）；环玦（玉环和玉玦）；环琨（环与琨，并为玉佩）；环塡（两种玉制的耳饰。环，耳环。塡，冠冕上的塞耳之玉）

4.泛指圆圈形的物品[ring]

布巾环幅。——《仪礼·士丧礼》

瓜祭上环。——《礼记·玉藻》。注：“上环，头忖也。”

5.又如：环中（圆环的中心；又比喻空虚而无是无非的境界）；环利通索（连环铁索）

6.数学中，具有加法和乘法运算的集合[ring]。其中任两个元素的并与对称差仍是该族中的元素

环论

7.化学中，环形的结构或多个原子的一种闭链[ring]。如：苯环；甾环

〈动〉

1.环绕，围绕[surround]

三江环之。——《国语·越语上》

戎翟之民实环之。——《国语·晋语二》

譬众星之环极。——《文选·张衡·西京赋》

环而攻之。——《孟子·公孙丑下》

竹树环合。——唐·柳宗元《至小丘西小石潭记》

贼环而进。——明·魏禧《大铁椎传》

环村皆猎户。——清·徐珂《清稗类钞·战事类》

2.又如：环坐（环绕而坐）；环绦（束腰的丝带）；环攻（围攻）；环瞰（包围窥伺）；环击（围攻）；环迫（四面威逼）

3.旋转[revolve]

环拜以钟鼓为节。——《周礼·乐师》

环山者三。——《战国策·齐策》

九首蛇身自环。——《山海经·大荒北经》

4.又如：环回（循环，周转）；环拜（盘旋与直拜）；环激（旋转搅动）；环涛（回旋的波涛）

常用词组

1.环靶huánbǎ

[roundtarget]由若干靶环套成靶面的靶子

2.环保huánbǎo

[environmentalprotection]对环境进行保护

环保办公室

砍掉那片树不利于环保

3.环抱huánbào

[encircle；surround；hemin]环绕，围绕在中间

古老的寺庙处于绿树环抱之中

4.环堵萧然huándǔ-xiāorán

[inacold,bareroom]环堵：四面土墙。萧然；萧条的样子。形容家中空无所有，极其贫困

环堵萧然，不蔽风日。——《陶渊明集·五柳先生传》

5.环复huánfù

[encircle；surround]环绕

折叠环复。——明·魏禧《大铁椎传》

6.环顾huángù

[driftaround；lookaround]四顾，观察四周

环顾其中。——唐·柳宗元《柳河东集》

环顾国内，贼氛方炽。——孙文《黄花冈七十二烈士事略序》

让我的双眼环顾房间

7.环规huánguī

[ringgage]一种外径规，其形式是圆筒形环或垫圈，常带有淬硬钢衬套

8.环礁huánjiāo

[atoll]环状的礁石

9.环节huánjié

（1）[link；sector]∶相互关联的许多事物中的一个

生产环节

（2）[annualring]∶在某些鱼的鳞上的斑纹或隆起的脊，相当于一年的生长

10.环境huánjìng

（1）[environment；surroundings；circumstance；ambience]

（2）周围的地方

环境优美

（3）周围的情况、影响或势力

换换环境

11.环境保护huánjìngbǎohù

[environmentalprotection]为了防止恶劣的气候或其他废水、废气、废渣等环境因素危害而对人或设备所作的保护

12.环锯huánjù

（1）[trephine]

（2）作环形锯开的一种外科手术器械

（3）用这种器械施行手术

13.环列huánliè

[lineupinacircle]环围排列

将军朝环列的侍卫看了几眼，走了

14.环裂huánliè

[ringshake；cupshake]一种介于同心层之间的木材裂缝

15.环路huánlù

（1）[ringroad]∶环绕城市的道路

增设环路

（2）[loop]∶闭合电路；闭合回路

16.环论huánlùn

[ringtheory]代数学中研究环的结构的分支

17.环佩huánpèi

[jadependant（wornonagirdle）]环形玉佩；妇女的饰物

小姐气得把环佩都摔了

18.环球huánqiú

（1）[roundtheworld]∶围绕地球

环球旅行

（2）[theearth；thewholeworld]∶全球，全世界

19.环绕huánrào

（1）[encircle]∶沿由路程、行进和旅行所形成的圆圈运动

环绕世界一周

（2）[surround]∶在四周构成圆环；构成弯曲或圆形边界

林地环绕着村庄

20.环山huánshān

（1）[aroundmountains]∶环绕着山

环山公路

（2）[surroundedbymountains]∶被山围着

村子三面环山，村北是一片平地

21.环生huánshēng

[takeplaceoneafteranother]连续地发生

环生支节

22.环蛇huánshé

[krait]环蛇属（Bungarus）的几种生有鲜明圈环，虽不爱寻衅但却极毒的夜行性眼镜蛇型蛇的任一种，土生于东亚及其附近岛屿上，常出现于耕地和居民点附近，特别爱吃其他种蛇。著名的两种环蛇是金环蛇（B.fasciatus）和银环蛇（B.multicinctus）,中国南方各省都有

23.环视huánshì

[lookaround]向四面观看；环顾

老师走进教室，环视一周之后才开讲

24.环水huánshuǐ

[waterlocked]几乎被水包围的

环水的陆岬

25.环锁huánsuǒ

[ringlock]一种字码锁，套在锁簧周围的一串带槽环必须这样安排，使得在锁簧闩上以前各槽与锁簧卡住

26.环眺huántiào

[lookaroundintothedistance]环视眺望

登上长城环眺，万物尽收眼底

27.环卫huán-wèi

[environmentalsanitation]环境卫生的简称

在环卫战线上干一辈子

28.环形huánxíng

（1）[ringy]∶圆环形状的

（2）[annular]∶形状像环

植物的环形子房室

29.环旋huánxuán

[curlup；windaround]回环缭绕

香气环旋。——唐·李朝威《柳毅传》

30.环游huányóu

[travelaround]周行游历

环游地球一周

31.环宇huányǔ

[thewholeworld]全世界

轰动环宇

32.环子huánzi

[ring]环圆形状的物品

套住环子往外拉

33.环钻huánzuàn

（1）[trephine]

（2）作环形切除的一种外科器械

（3）用这种器械施行手术

数学定义

简介

在非空集合R中，若定义了两种代数运算+和*（不一定为加与乘），且满足：

1）集合R在+运算下构成阿贝尔群（Abel）。

2）*有封闭性，即对任何a∈R,b∈R，有a*b∈R。

3）*分配律与结合律成立，即对任何a∈R，b∈R和c∈R，有

a*（b+c）=a*b+a*c

（b+c）*a=b*a+c*a

（a*b）*c=a*（b*c）

我们则称R是一个环（Ring）。一个环同样有几个最基本的性质：

对于任何的a∈R和b∈R，有

①存在零元e0a*e0=e0*a=e0。

②a*（-b）=（-a）*b=-a*b。

③存在单位元e1，a*e1=e1*a=a　一个具有两种二元运算的代数系统。设在集合R中已定义了加法与乘法，而R在加法下是一个交换群，且乘法对加法有分配律，则R称为一个非结合环。此时R中就有唯一的零元素θ，使得对α∈R恒有α+θ=α；R中每个α有唯一的负元素-α，使α+（-α）=θ，可简记α+（-b）为α-b。分配律可推广为：α（b±с）=αb±αс，（b±с）α=bα±сα；用数学归纳法可证

　在非结合环R中恒有：αθ=θα=θ；α（-b）=（-α）b=-αb；（-α）（-b）=αb；（nα）b=α（nb）=nαb，其中α、b为R中任意元素，n为任意整数。如果非结合环R还具有性质：α2=θ（α∈R），且雅可比恒等式成立，即在R中恒有（αb）с+（bс）α+（сα）b=θ，那么R称为一个李环。如果非结合环R的乘法适合交换律，且在R中恒有

（αα）b

α=（αα）（bα），那么R称为一个若尔当环。在非结合环的研究中，李环与若尔当环是内容最丰富的两个分支。如果非结合环R的乘法适合结合律，那么R称为一个结合环或环。如果在环R中再规定如下的一个新乘法“。”（称为换位运算）：α。b=αb-bα，那么R对原来的加法与新有的乘法是一个李环；若规定的新乘法为“·”（称为对称运算）：α·b=αb+bα，则R便成一个若尔当环。　设S是非结合环R的一个非空子集，若对于R的加法与乘法，S也构成一个非结合环，则S称为R的一个子环。一个真正的非结合环（即其中有三个元素在相乘时不适合结合律）的一个子环，有可能是一个结合环。非结合环R的若干个子环的交，仍是R的一个子环。当T为R的一个非空子集时，R中所有含T的子环的交显然是R中含T的最小子环，称之为R的由T生成的子环。如果非结合环R中任意三个元素生成的子环恒为结合环，那么R已经是一个结合环；如果R中任意两个元素生成的子环恒为结合环，那么R称为一个交错环；如果R中任意一个元素生成的子环恒为结合环，那么R称为一个幂结合环。在幂结合环中，第一、第二指数定律即

　恒成立。如果一个交错环的乘法还适合交换律，那么它称为一个交错交换环。在交错交换环中，不仅有第一、第二指数定律成立，而且有第三指数定律即

　成立；还有二项式定理。　结合环与交换环的典型例子如：F上的n阶全阵环，即数域（或域）F上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下构成的一个环。V的完全线性变换环，即F上的一个向量空间V的全部线性变换在变换的加法与乘法下构成的一个环。F上的多项式环，即F上一个或若干个文字的多项式全体构成的一个交换环。整数环，即全体整数构成的一个交换环；全体偶数构成它的一个子环，称为偶数环。R上的n阶全阵环，即在任意一个环R上的全部n阶矩阵，对于仿通常矩阵的运算定义的加法与乘法构成的环，记为Rn。【0,1】上的全实函数环，即定义在区间【0,1】上的全部实函数，对于函数的加法与乘法构成的一个交换环。整数模n的环R奱，即模n剩余类，对于剩余类的加法和乘法构成的一个交换环。它是只含有限个元素的交换环的典型例子。

若一个环R中含有一个非零元素e≠θ，使对每个x∈R有ex=xe=x，则e称为R的一个单位元素。一个环若有单位元素，则它必然是唯一的。设R是一个含有单位元素的环，α是R中一个元素，若R中有元素b，使αb=bα=e，则b称为α的一个逆元素。当α有逆元素时，其逆元素必然是唯一的，记为α-1，α-1也有逆元素，而且就是α，即（α-1）-1=α。R的零元素θ必无逆元素。若R的每个非零元素都有逆元素，则R称为一个体或可除环。四元数代数就是典型的体。在体的定义中再规定其乘法适合交换律，就是域的定义。

理想

设S是环R的一个非空子集，所谓S是R的一个左理想，意即①S是R作为加法群时的一个子群；②当α∈S,x∈R时，则xα∈S。若有αx∈S，则S称为R的右理想。如果S既是R的左理想，又是R的右理想，则称S是R的一个理想。例如，{θ}是环R的一个理想。设l1、l2都是环R的左理想。R中所有的元素α+b（α∈l1,b∈l2）作成R的一个左理想，并称之为l1与l2的和，记为l1+l2。R中所有的有限和

　作成R的一个左理想，称为R的左理想l1与l2的积，记为l1l2。易知R的左理想的加法适合交换律与结合律；R的左理想的乘法适合结合律且对加法有分配律。对于R的右理想的加法与乘法也有类似结果。由于左理想与右理想的对称性，因此以下关于左理想的讨论，对于右理想也适合。环R的两个左理想的和的概念可以推广成若干（有限或无限）个左理想li的和li，它是由所有的有限和

　所构成的。如果这些li均非零，而且在

li中每个元素α=αi的表法是唯一的，那么R的这组左理想li（i∈i）称为无关的。环R的两个左理想的积的概念可以推广成任意有限多个左理想l1，L2，…，ln的积l1l2…ln。特别，当这些li都是R的同一个左理想L时，此积简记为ln。设T是环R的一个非空子集。R中有元素α，它能从左边去零化T中每个元素即αT={αt|t∈T}是{θ}，例如R中的零元素θ就是这样一个元素。R中所有这种元素作成R的一个左理想，称为T在R中的左零化子，或R中的一个左零化子。

如果环R的任意一组左理想中恒存在极小的左理想，那么环R称为满足左极小条件，或降链条件。所谓极小左理想，是指一组左理想中的一个左理想，它不能真正的包含组中任何左理想。同理可定义环R的左极大条件（或升链条件）以及环R的左零化子的极小与极大条件。由于环R的左零化子仅仅是R的一类特殊的左理想，所以环R的左零化子的极小与极大条件，分别弱于R的左极小与左极大条件。若环R满足左极大条件，则R中左理想的任何无关组必为有限的。满足左极小条件的环又称为左阿廷环；满足左极大条件的环又称为左诺特环；一个环满足条件：①它的左理想的任何无关组恒为有限的；②它的左零化子满足极大条件，称为左哥尔迪环。由上述可知，左诺特环恒为左哥尔迪环。

设N是环R的一个理想。首先，R作为一个（交换）加法群时，则N就是群R的一个正规子群。N在R中的全部陪集对于陪集的加法（α+N）+（b+N）=（α+b）+N作成一个（交换）加法群。其次，规定（α+N）（b+N）=αb+N，这与陪集的代表元素α、b的取法无关。易知陪集的这种乘法，适合结合律且对加法有分配律。于是就得到一个环，并称之为环R关于其理想N的剩余类环，记为R/N。它与环R有同态关系。所谓同态，是指对于两个环R1、R2，有一个从R1到R2上的映射σ：R1→R2，使对任意α·b∈R1恒有σ（α+b）=σ（α）+σ（b），σ（αb）=σ（α）σ（b）。R2是R1在σ下的同态像，记为

　。对任意环R及其任意理想N，只要定义σ（α）=α+N就得到R到R/N上的一个同态映射，特称之为自然同态映射。如果环R1到环R2上的一个同态映射σ，又是一一映射，那么σ称为同构映射，记为

　。可以证明，如果σ是环R到环R′上的一个同态映射，那么R中所有满足σ（α）=θ′∈R′的元素构成R的一个理想N，称为σ的核，且有R/N≌R′；如果环R满足左极小（或极大）条件，那么其任意同态像亦然。

设l是环R的一个左理想，如果有正整数n使ln={θ}，那么l称为幂零的。如果对l中每个元素α恒有正整数n（α）使

　，那么l称为诣零的。显然幂零左理想必为诣零左理想，但反之则未必。对R的右理想也有相应的定义。如果P是环R的一个理想，而对R的任意两个理想A、B，只要AB嶅P，就必有A嶅P或B嶅P，则P称为R的一个质理想或素理想。如果环R的零理想{θ}是R的一个质理想，那么R称为一个质（素）环。如果环R除{θ}外不再含其他的幂零理想，那么R称为一个半质（素）环。质环恒为半质环，但反之则未必。

结构理论

设R1,R2，…，Rm均为环R的非零子环。如果R的每个元素α均可唯一地表为

　，且当i≠j时恒有

　，那么R称为R1，R2，…，Rm的环直接和（或简称直和），记为

　。此时诸Ri均必为环R的理想且R满足左极小（极大）条件，必要而且只要诸Ri均然。当一个非零的环不能表为两个以上的非零子环的环直接和时，则称之为不可分环。例如非零的单纯环（即除{θ}与自身外不再含其他理想的环）就是不可分环。

一个非零的环R为左阿廷质环，必要而且只要有体K使

　。此时若又有体T使

　，则必有T≌K,m=n。这样的环必为单纯环，又称为阿廷单纯环。一个非零的环为左阿廷半质环，必要而且只要它是有限个阿廷单纯环的环直接和。这样的环又称为阿廷半单纯环。一个阿廷半单纯环为不可分环，必要而且只要它是阿廷单纯环。以上结果统称为韦德伯恩-阿廷结构定理。设R是任意一个左阿廷环，于是R的诣零左、右理想恒为幂零的；R的所有幂零左理想的和又等于R的所有幂零右理想的和，从而这个和N是R的唯一最大幂零理想，称为R的根，而且当N<R时，剩余类环R/N是阿廷半单纯环。

对环R中元素α，如果存在α′∈R，使α+α′+αα′=α+α′+α′α=θ，那么α称为拟正则的，而且α与α′互为拟逆。例如，诣零元素α就是拟正则的，当αn=θ时，α′=-α+α2-

　。又如整数环中的－2也是拟正则的，其拟逆即－2自己。如果环R的一个左（或右）理想l的每个元素α都是拟正则的（此时α的拟逆α′亦必在l中），那么l称为R的一个拟正则左（或右）理想。任意环R中恒存在唯一的最大拟正则理想J，称为R的雅各布森根，它包含R的所有拟正则左与右理想，且剩余类环R/J不含非零的拟正则左与右理想。特别，当J={θ}时，R称为雅各布森半单纯环。于是任意环R关于其雅各布森根J的剩余类环R/J，便恒为雅各布森半单纯环。非零的满足左极小条件的雅各布森半单纯环就是阿廷半单纯环。

左分式环

如果在环R中有α≠θ，b≠θ，而αb=θ，那么α称为左零因子，b称为右零因子。一个非零元素如果既非左零因子，又非右零因子，那么这个非零元素称为正则元。设Q是一个有单位元素e的环，R是它的一个子环，如果R的每个正则元α在Q中有逆元素α-1，且Q中每个元素β均可表为β=α-1b（其中α、b∈R且α为正则元），那么Q称为R的一个左分式环。设R是一个非零的环，则R是哥尔迪质环，必要而且只要R有一个左分式环为阿廷单纯环；R是哥尔迪半质环，必要而且只要R有一个左分式环为阿廷半单纯环。

所谓环R是一个左奥尔环，即指R含有正则元而且满足左奥尔条件：对α、b∈R（其中b为正则元），恒有α1、b1∈R（其中b1是正则元）使得b1α=α1b。当环R无零因子时，左奥尔条件即R中任二非零元有共同的非零左倍元。一个环R有左分式环，必要而且只要R是一个左奥尔环。

序环

所谓环R的偏序关系“≤”，是指“≤”在环R的元素之间具有以下性质：①自反性，即对每个α∈R恒有α≤α；②传递性，即当α≤b，b≤с时有α≤с；③反对称性，即当α≤b，b≤α时有α=b；④如果α≤b，那么对x∈R恒有α+x≤b+x；⑤当θ≤α,θ≤b时有θ≤αb。有偏序关系存在的环，称为偏序环。在偏序环中，当α≤b，с≤d时，就必有α+с≤b+d；当α≤θ，θ≤b时，就有αb≤θ，bα≤θ；当α≤θ，b≤θ时，就有θ≤αb。在偏序环中，若α≤b且α≠b，则记为α<b。当θ<α时则称α是一个正元素；当b<θ时则称b是一个负元素。当α为正元素时，则－α必为负元素；当b为负元素时，则－b必为正元素；当偏序环中无左、右零因子时，就有两个同号元素（即同为正元素或同为负元素）相乘为正；两个异号元素相乘为负。如果偏序环R中任意两个元素α、b均有α≤b或者b≤α，那么就说R是一个序环。例如整数环在通常数的小于等于关系“≤”下就是一个序环。

发展概况

环论的发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。F.G.弗罗贝尼乌斯、J.W.R.戴德金、&Eacute；.（-J.）嘉当、W.R.哈密顿和T.莫利恩等人是发展超复系理论的主要数学家。后来，发展成一般域上的代数结构理论，是源于J.H.M.韦德伯恩在1907年发表的著名论文。A.A.阿尔贝特、R.（D.）布饶尔及（A.）E.诺特等人发展与简化了单纯代数理论与算术的理想理论，在1927年E.阿廷的论文又把代数结构的主要结果推广到具极小条件的环上，而成为韦德伯恩-阿廷结构定理。此后对于不具链条件的环换成一些拓扑或度量的条件进行研究，如J.冯·诺伊曼与F.J.默里在希尔伯特空间中研究变换环，冯·诺伊曼的正则环理论与И.М.盖尔范德的赋范环论等。19世纪40年代后，一般环的根理想理论应时而起，迅速发展，其中尤以雅各布森根与半单纯环以至本原环理论较为系统而深入。1958年A.W.哥尔迪对具极大条件的环得到了至善的结果。在体论以及非结合环中的若尔当环与雅各布森环的研究，近年来均甚为活跃。