华林问题

Waring's problem

数论中的一个问题。1770年，E.华林推测：每个正整数是4个平方数之和，9个立方数之和，19个4次方数之和等等。也就是说，他认为对任意给定的正整数k≥2，必有一个正整数S（k）存在，使得每个正整数n必是S（k）个非负的k次方数之和。华林自己猜测 g(2)=4, g(3)=9, g(4)=19. 1909年，D.希尔伯特用复杂的方法证明了S（k）的存在性，首先解决了华林提出的这一猜想。其中用了含有25重积分的恒等式。其后，U.V.林尼克于1943年给出了S（k）存在性的另一个证明。中国数学家华罗庚也曾研究过华林问题,除此，陈景润也在研究华林问题上改进了中外数学家的结果。

著名的拉格朗日四平方定理，指出g(2)=4，而且除了4^n(8k+7) 型的数外，这个数字还可以减少为3.1909, Wieferich 证明了g(3)=9. 1859年, Liouville 证明了g(4)<=53. Hardy,和Little 改进为g(4)<=21, 最终 Balasubramanian (1986)确定g(4)=19 . 事实上有个著名的猜想给出了g(k)的一切值。

既g(k)=2^k+[1.5^k]-2

由于g(k)严重依赖于开始的一些例外情况，在反映整数的序列性质方面不够深刻，作为华林问题的推广，有定义G(k)为对于足够大的数分解为k次幂和的最小项数.这比g(k)的确定难很多，甚至至今尚不知道g(3)的值.