函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。

三角函数(同角三角函数间的基本关系式 三角函数恒等变形公式 本章教学目标 函数的几种特性)

函数的最值问题(1．一次函数的最大值与最小值 2．二次函数的最大值与最小值 3．分式函数的最大值与最小值 4．其他函数的最大值与最小值)

学习指导(函数的概念 函数的通性 函数的图像)

三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

符号 sin cos tan cot sec csc

正弦函数 sin（A）=a/h

余弦函数 cos（A）=b/h

正切函数 tan（A）=a/b

余切函数 cot（A）=b/a

正割函数 sec (A) =h/b

余割函数 csc (A) =h/a

同角三角函数间的基本关系式

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·商的关系：

tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

本章教学目标

1.(1)任意角的概念以及弧度制.正确表示象限角、区间角、终边相同的角，熟练地进行角度制与弧度制的换算.

(2)任意角的三角函数定义，三角函数的符号变化规律，三角函数线的意义.

2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式.

(2)已知三角函数值求角.

3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和“五点法”作图、图像法变换，理解A、ω、φ的物理意义.

4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性.

5.两角和与差的三角函数、倍角公式，能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明.

本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.

三角函数是中学数学的重要内容，它是解决生产、科研实际问题的工具，又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础，它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用.

函数的几种特性

①有界性

②单调性

③奇偶性

④周期性

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

(以上k∈Z)

函数的最值问题

1．一次函数的最大值与最小值

一次函数y=kx+b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．

例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．

大值a．

例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件

x+y+z=30，3x+y-z=50．

求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．

解 从已知条件可解得

y=40-2x，z=x-10．

所以

u=5x+4y+2z

=5x+4(40-2x)+2(x-10)

=-x+140．

又y，z均为非负实数，所以

解得10≤x≤20．

由于函数u=-x+140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．

2．二次函数的最大值与最小值

例3 已知x1，x2是方程

x-(k-2)x+(k+3k+5)=0

解 由于△=[-(k-2)]^2-4(k+3k+5)≥0，，所以二次方程有实根

3k+16k+16≤0，

例4 已知函数

有最大值-3，求实数a的值．

解 因为

的范围内分三种情况讨论．

-a+4a-1=-3

例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积

S=xy，2≤X≤4．

易知CN=4-x，EM=4-y，且有

二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值

例6 设p>0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．

解 由题设知

f(p)=5，g(p)=25，

f(p)+g(p)=p+16p+13，

所以 p+16p+13=30，

p=1(p=-17舍去)．

由于f(x)在x=1时有最大值5，故设

f(x)=a(x-1)+5，a<0，

所以

g(x)=x+16x+13-f(x)

=(1-a)x+2(a+8)x+8-a．

由于g(x)的最小值是-2，于是

解得a=-2，从而

g(x)=3x+12x+10．

3．分式函数的最大值与最小值

法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．

解 去分母、整理得

(2y-1)x+2(y+1)x+(y+3)=0．

≥0，即

=[2(y+1)]-4(2y-1)(y+3)≥0，

解得　-4≤y≤1．

时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．

说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．

解 将原函数去分母，并整理得

yx-ax+(y-b)=0．

因x是实数，故

=(-a)-4·y·(y-b)≥0，

由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以

(y+1)(y-4)≤0，

即　y-3y-4≤0．　②

由①，②得

所以a=±4，b=3．

4．其他函数的最大值与最小值

处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．

解 先估计y的下界．

又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．

说明 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：

但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．

例10 设x，y是实数，求u=x+xy+y-x-2y的最小值．

分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．

又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．

例11 求函数

的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．

学习指导

函数的概念

（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。

（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)x∈A为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素。

函数的通性

（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(-x)f(x)=0， （f(x)≠0）。

奇偶性的几何意义是两种特殊的图像对称。

（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图像法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。

（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图像法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2b-2a。

（4）反函数：（考纲中反函数的教学，只要求通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a > 0，a≠1）。）

函数的图像

函数的图像既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图像的工具作用。

图像作法：①描点法；②图像变换。应掌握常见的图像变换。

本单元常见的初等函数：一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。