数学中，函数空间是从集合 X 到集合 Y 的给定种类的函数的集合。它叫做空间是因为在很多应用中，它是拓扑空间或向量空间或这二者。

简介

从集合Ω到数域A（可取为实数域R或复数域C）的一类映射所成的集合（即函数作为点所成集合），并在此集合上赋有一定几何结构。经典分析学处理问题往往泛言或零散地看待所考虑的函数。虽有时取符合于某种规定的函数类X，但没有明确地把X当作几何的对象。现代分析学的一般方法在于视Ω为拓扑空间或测度空间又以问题的需要规定类中映射（即函数）:Ω→A满足的条件，诸如连续性、有界性、可测性、可微性、可积性等；从几何学、拓扑学及代数学的角度,对X一方面赋与关于加法与数量乘法的封闭性，这里加法为：ƒ∈X，g∈X→ƒ+g∈X，(ƒ+g)(x)=ƒ(x)+ g(x)，凬x∈Ω；数量乘法为：ƒ∈X，λ∈A→λƒ∈X，(λƒ)(x)=λƒ(x)，凬x∈Ω（即X对通常函数的线性运算封闭）;另一方面使之成为拓扑空间，且两方面又满足一定的要求（例如线性运算关于拓扑是连续的等）。这样,函数空间X通常也是拓扑线性空间。经典分析学研究中出现了许多重要的函数空间。对一些类型的函数空间，现已取得相当丰富的理论成就。

当Ω是拓扑空间，Ω上有界连续函数全体以极大模为范数时构成巴拿赫空间C(Ω)。特别当Ω是局部紧的，C(Ω)中具紧支集（函数ƒ的支集即集合{x∈Ω;ƒ(x)≠0}的闭包）的函数全体C0(Ω)是C(Ω)一个不完备的线性子空间。当Ω是紧的，Ω上所有连续函数必有界，它们就构成C(Ω)。对紧空间Ω的特例

C(Ω)成为收敛序列全体所构成空间C。

当在Ω中定义了测度μ,在(Ω,μ)上可测并使

在Ω上可积（1≤p<∞）的函数ƒ的全体,赋有范数时构成巴拿赫空间即勒贝格空间lp(Ω,μ)。lp(Ω,μ)中序列{ƒn}收敛（称为p次平均收敛）到ƒ 即指 5 是一希尔伯特空间，ƒ，g∈l2(Ω,μ)的内积 6 在复值函数情况下l2(Ω,μ)的内积为

lp(1

命lφ(Ω，μ)表所有使φ(｜ƒ(x)｜)在 Ω上可积的函数ƒ(x)。若存在某固定的C>0，φ(2s)≤Cφ(s)，则对某k>0使φ(k｜ƒ(x)｜)可积的函数 ƒ全体所成集合L(Ω,μ)取范数

时成为一个巴拿赫空间，称为奥尔里奇空间。当φ(s)＝sp(1

为范数时构成巴拿赫空间M(Ω,μ)。对Ω是每点具有单位质量(即测度为1)的序列{1, 2,3,…,n}所成离散空间，M(Ω,μ)及lp(Ω,μ)(1

为拟范数的弗雷歇空间，其中序列｛ƒn｝收敛于ƒ,即当且仅当

(即依测度收敛)。特别当Ω＝(1，2,…,n,…)在点n有质量1/2n时，S(Ω)成为序列空间s。 在复平面C 的区域 Ω上全纯函数的研究,引出一类函数空间,即哈代空间 hp(p≥1)和与哈代空间h1有关的有界平均振幅空间（见BMO 空间）。

设Ω为n 维欧几里得空间Rn的子域, 在 C(Ω)中取l(＝1,2 ,…,∞) 阶连续可微于Ω的函数 ƒ, 其全体记为Cl(Ω)。Cl(Ω) 中具紧支集的函数集合记为C(Ω)。若Ω为Rn的子域闭包, 则ƒ 的条件改为对所有α＝(α1,α2,…,αn)（其中 αi为非负整数，

如l<∞；0≤｜α｜<∞，如l=∞）,Dαƒ 有界且一致连续于IntΩ，得连续地开拓到嬠Ω,这样的ƒ全体仍记为Cc(n)(Ω)。空间Cc(n)(Ω)的序列{ƒυ}在 Cc(n)(Ω)中收敛于0当且仅当对所有α ，0≤|α|≤l(0≤｜α｜< ∞，如l=∞),|Dαƒυ(x)|在Ω内任何紧集上一致收敛于0,序列{ƒυ}C(Ω)在C(Ω)中收敛于0。如果ƒυ的支集(v＝1,2,…)含于Ω内与v无关的紧集中而{ƒυ}在Cc(n)(Ω)中收敛于0。

对域Ω嶅Rn，C∞(Ω)及 C悂(Ω)也分别记为E(Ω)及D(Ω)。它们是广义函数论中的基本函数空间（见广义函数）。对D、φ、E的对偶空间分别为D′、φ′、E′。的元称为施瓦兹广义函数。满足条（对任何整数k>0)的广义函数T称为急减广义函数，其全体记为婞。从上面的规定及拓扑线性空间理论，有以下包含关系(1≤p<q<∞):表 C∞(Ω)中使得对所有α , Dαƒ∈lp (Ω, m)（m 为勒贝格测度）的ƒ 全体,它是拓扑线性空间。　两线性空间A,B间包含关系,用记法A嶅B，在集合及代数结构意义上理解。有时两线性拓扑空间A，B间包含关系A嶅B同时还表示映射A→B是连续的，这时A嶅B表A单射入B。在函数空间,广义函数的空间,索伯列夫空间方面有许多这类关系,最常见的如lp（Ω,μ）嶅lq(Ω,μ)，q