词条 | 海莱定理 |
释义 | 海莱定理(Helly theorem) 在平面上,设M1,M2,……,Mn (1,2 ,……n为下标,下同,n≥3)是凸集,如果其中每三个凸集都有公共点,那么这n个凸集必有公共点。这个结论就是海莱定理。 下面我们证明海莱定理。 证明:我们对凸集的个数n用数学归纳法。 1、当n=3时,命题显然成立。 2、设n=k(k>3)时,命题成立。我们证明命题对于n=k+1成立。即设M1,M2,……,Mk+1为k+1个凸集,其中每三个有公共点,要证明这k+1个凸集有公共点。 由于k个凸集M2,M3,M4,……,Mk,Mk+1中每三个有公共点,根据归纳假设,这k个凸集有公共点A1。同样,设M1,M3,M4……,Mk+1有公共点A2;M1,M2,M4,……,Mk+1有公共点A3;M1,M2,M3,M5,……,Mk+1有公共点A4。 如果A1,A2,A3,A4这四个点中有相同的,比如A1和A2相同,那么A1就是M1,M2,……,Mk+1这k+1个凸集的公共点,命题成立。如果A1,A2,A3,A4这四个点互不相同,考察它们的凸包H。有下面三种情况: (i)H为凸四边形A1A2A3A4。(如图1) 这时线段A1A3与A2A4相交于一点A,因为A1∈M2,A3∈M2,M2是凸集,所以A∈M2。同理A∈M4,A∈M5,……,A∈Mk+1。又因为A2∈M1,A4∈M1,M1是凸集,所以A∈M1。同理A∈M3。因此A是M1,M2,……,Mk+1这k+1个凸集的公共点。 (ii)H为△A1A2A3。(如图2) 这时因为A1,A2,A3都属于M4,所以△A1A2A3包含于M4,从而由A4∈△A1A2A3,得到A4∈M4。因此A4是M1,M2,……,Mk+1这k+1个凸集的公共点。 (iii)H为一线段A1A2。(如图3) 这时A4∈A1A2,从而A4包含于M4,所以是A4是M1,M2,……,Mk+1这k+1个凸集的公共点。 综上所述就证明了海莱定理。 |
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