数学定义

曲面造型上的应用

数学定义

曲面论中最重要的内蕴几何量。设曲 面在P点处 的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k=k1·k2称为曲面 于该点的总曲率或高斯曲率。它反映了曲面的一般弯曲程度。高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点 的轨迹是 以O为中心的单位球面 S2上的一块区域 Δб* 。这个对应称为高斯映射。曲面在P点邻近弯曲程度可用Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻画。曲面在P点的 高斯曲率的 绝对值正是这个比值当Δб收缩成P点时的极限。

曲面造型上的应用

因为高斯曲率实际反映的是曲面的弯曲程度，因此在三维CAD软件中都把高斯曲率分析作为分析曲面造型中内部曲面质量和连接情况的主要依据。当曲面的高斯曲率变化比较大比较快的时候表面曲面内部变化比较大也就意味这曲面的光滑程度越低，而两个连接的曲面如果在公共边界上的高思曲率发生突变就表示两个曲面的高斯曲率并不连续，通常也叫曲率不连续，说明两个曲面的连接没有到达G2连接质量。

在三维CAD软件中，通常都是使用曲面表面的颜色分布和变化来表示曲面高斯曲率的分布，比如ProE软件便是如此，通过这些颜色的变化就可以直观地知道曲面的高斯曲率的变化，而颜色的突变就表示高斯曲率的突变。