定义

论证方法

结论

定义

又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数。概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数。而三角和 (сj为复数,λj为实数)序列的极限却未必是周期函数。但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画。

论证方法

考虑最简单的情形，两个连续周期函数ƒ(x)及g（x）的和函数S(x)=ƒ(x)+g(x)，设F为ƒ(x)的周期，G为g(x)的周期。如果F和G是可公度的,即存在正整数n1和n2，使得n1F=n2G,那么S(x)也为一周期函数，而且以n1F=n2G为周期。但当F和G是不可公度时,虽然不存在整数n1和n2，满足

,

但由有理数集的稠密性原理可知:存在正整数n1和n2，使得

|n1F－n2G|<δ,这里，δ是事先任给的正数。从而，存在数τ满足

|n1F－τ|<δ 及 |n2G－τ|<δ 。还可以进一步证明更强的结论：对任给的δ>0,存在着正数l(δ)，使得在每一个长为l(δ)的区间内至少有一数τ满足上式。这样，由ƒ(x)和g(x)的连续性、周期性以及上述事实便得到：对任给的ε>0,存在着正数l(ε)，使得在每一个长为l(ε)的区间内至少有一数τ，满足

│S(x+τ)-S(x)│<ε。上式虽然并不说明S(x)为周期函数，但它具有近似的周期性。一般来说，可以给出如下的精确描述：设ƒ(x)为定义于实轴上的复值连续函数，如果τ满足

，

就称τ为ƒ（x）的属于ε的平移数。若对任一ε>0，存在l(ε)>0,使得长度为l(ε)的区间内至少包含一个ƒ(x)的属于ε的平移数,则称ƒ(x)为概周期函数。任一周期函数必为概周期函数；

结论

由上可知，任意有限个周期函数的和函数也必为概周期函数。因而，复值三角和

必为概周期函数。概周期函数理论中的一个重要结果是：ƒ(x)为概周期函数当且仅当ƒ(x)可以用上述的三角和序列来一致逼近。