法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数（法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数）一种特殊的三角级数。

傅里叶级数

公式

收敛性

三角函数族的正交性

奇函数和偶函数

广义傅里叶级数

傅里叶级数

Fourier series

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

============================================================================================================

公式

给定一个周期为T的函数x(t），那么它可以表示为无穷级数：

x(t)=\\sum _{k=-\\infty}^{+\\infty}a_k\\cdot e^{jk(\\frac{2\\pi}{T})t}（j为虚数单位）（1）

其中，a_k可以按下式计算：a_k=\\frac{1}{T}\\int_{T}x(t)\\cdot e^{-jk(\\frac{2\\pi}{T})t}（2）

注意到<math>f_k(t)=e^{jk(\\frac{2\\pi}{T})t}</math>；是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=\\pm 1时具有基波频率<math>\\omega_0=\\frac{2\\pi}{T}，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t）须绝对可积；在任一有限区间中，x(t）只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t）只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t）的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和X(t），那么X(t）在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

三角函数族的正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

<math>\\int _{0}^{2\\pi}\\sin (nx)\\cos (mx) \\,dx=0;</math><math>\\int _{0}^{2\\pi}\\sin (mx)\\sin (mx) \\,dx=0;(m\e n)</math>

<math>\\int _{0}^{2\\pi}\\cos (mx)\\cos (mx) \\,dx=0;(m\e n)</math>

<math>\\int _{0}^{2\\pi}\\sin (nx)\\sin (nx) \\,dx=\\pi;</math>

<math>\\int _{0}^{2\\pi}\\cos (nx)\\cos (nx) \\,dx=\\pi;</math>

奇函数和偶函数

奇函数<math>f_o(x)</math>；可以表示为正弦级数，而偶函数<math>f_e(x)</math>；则可以表示成余弦级数：

<math>f_o(x) = \\sum _{-\\infty}^{+\\infty}b_k \\sin(kx);</math><math>f_e(x) = \\frac{a_0}{2}+\\sum _{-\\infty}^{+\\infty}a_k\\cos(kx);</math> 只要注意到欧拉公式： <math>e^{j\\theta}= \\sin \\theta+j\\cos \\theta</math>；，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数

任何正交函数系<math>\\{ \\phi(x)\\}</math>；，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程：

<math>\\int _{a}^{b}f^2(x)\\,dx=\\sum _{k=1}^{\\infty}c^{2}_{k}</math> （4），

那么级数<math>\\sum _{k=1}^{\\infty} c_k\\phi _k(x)</math> （5） 必然收敛于f(x），其中：

<math>c_n=\\int _{a}^{b}f(x)\\phi_n(x)\\,dx</math> （6）。事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

<math>\\int _{a}^{b}f^2(x)\\,dx \\ge \\sum _{k=1}^{\\infty}c^{2}_{k}</math>；成立，这称作贝塞尔(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基<math>\\{e_i\\}^{N}_{i=1}</math>；，向量x在<math>e_i</math>；上的投影总为<math><x,e_i></math>；。