复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。同时，复数还指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。

定义(复数的模和辐角 复数定义 共轭复数 四则运算法则 复数加乘运算律 i的乘方)

四则运算法则(加法法则 乘法法则 除法法则)

复平面

其他表达(复数三角形式的运算 棣莫佛定理 复数的开方)

复数集的分类

起源

应用(系统分析 信号分析 反常积分 量子力学 相对论 应用数学 流体力学 碎形 黎曼猜想轨迹)

数系理论(引子 十进制计数法 大数记法 有理数系 负数 无理数 复数 四元数)

复变初等函数(实变初等函数的推广 复变指数函数 复数的三角函数)

英语语法概念(定义 一般方法)

定义

复数的模和辐角

目的：（1）掌握复数模的计算及模的性质

（2）理解复数的辐角及辐角主值的定义和求法。

（3）掌握求解的几种方法。

总结：

（一）求复数模的范围或最值，通常有以下几种方法：

（1）利用复数的三角形式，转化为求三角函数式的最值问题；

（2）考虑复数的几何意义，转化为复平面上的几何问题；

（3）化为实数范围内的最值问题，或利用基本不等式；

（4）转化为函数的最值问题。

（二）求复数的辐角及辐角的范围（包括主值）通常用以下几种方法：

（1）将一个复数表示成三角形式后再确定；

（2）利用复数乘除法运算的几何意义；

（3）利用复数与复平面上的点或向量的对应关系及数形结合，转化为几何问题。

复数定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。

形如z=a+bi的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数）

我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（real part)记作Rez=a

实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b.

已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数

当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣

即对于复数z=a+bi，它的模

∣z∣=√（a^2+b^2)

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

共轭复数

定义：对于复数z=a+bi，称复数z'=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number）。复数z的共轭复数记作zˊ。表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号。

根据定义，若z=a+bi(a，b∈R），则 zˊ=a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等，虚部互为相反数.在复平面上。表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi，那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi，或相反。

共轭复数有些有趣的性质：

︱x+yi︱=︱x-yi︱

(x+yi)*(x-yi)=x²+y²=︱x+yi︱²=︱x-yi︱²

四则运算法则

若复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，则

z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i，

（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i，

（a+bi）÷（c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)i/(c^2+d^2)

其实两复数相除，完全可以转化为两复数相乘：（a+bi）÷（c+di)=（a+bi）/(c+di），此时分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。

复数加乘运算律

z1+z2=z2+z1；（z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) ； z1z2=z2z1； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1 (z2+z3)=z1z2+z1z3

i的乘方

i^(4n+1)=i, i^(4n+2)=-1, i^(4n+3)=-i, i^4n=1（其中n∈Z）

四则运算法则

加法法则

复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，

则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律，

即对任意复数z1,z2,z3，有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

乘法法则

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = −1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

除法法则

复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商

运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭。所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数.

除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R），除以c+di(c，d∈R），其商为x+yi(x，y∈R），

即（a+bi）÷（c+di)=x+yi

∵（x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.

∴（cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.

由复数相等定义可知 cx-dy=a dx+cy=b

解这个方程组，得 x=(ac+bd)/(c^2;+d^2;) y=(bc-ad)/(c^2;+d^2;)

于是有：（a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2;+d^2;) +(bc-ad)/(c^2;+d^2;)i

②利用（c+di)(c－di)=c^2;+d^2;.于是将 的分母有理化得：

原式= c^2;-cdi+cdi-d^2；×i^2;=c^2;+d&sup2；∴（a+bi）÷（c+di)= (ac+bd)/(c^2;+d^2;) +(bc-ad)/(c^2;+d^2;)i

点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的 的对偶式 ，它们之积为1是有理数，而（c+di）·（c－di)=c^2;+d^2；是正实数。所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

(a+bi)/﹙c+di﹚=﹙a+bi﹚﹙c-di﹚/﹙c+di﹚﹙c-di﹚,先消去分母的虚部 ,再进行运算.

复平面

复平面的横轴上的点对应所有实数,故称实轴,纵轴上的点(原点除外)对应所有纯虚数,故称虚轴.　在复平面上，复数还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应，因此复数z也能用向量Z来表示（如右图）。向量的长度称为Z的模或绝对值，记作　|z|=r= √(x^2+y^2 ) 。　除未塞尔(1745-1817),阿工(1768-1822)的工作外,科兹(1707-1783)棣美弗(1667-1754),欧拉 (1707-1783),范德蒙(1735-1796),也曾认识到平面上的点可与复数一一对应,这一点从他们把二项方程的根看作一个正多边形的顶点一事获得证实.但是,在这方面高斯的贡献是十分重要的,他的著名代数学基本定理是在假设坐标平面上的点与复数可以 一一对应的前提下推出的.　1831年,高斯在《哥庭根学报》上详细说明了复数 a+bi表示成平面上的一个点(a,b).从而明确了复平面 的概念,他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合,统一于表示同一复数的二种表示形式——复数的代 数形式及三角形式之中.高斯还给出了「复数」这个名称,由于高斯的卓越贡献,后人常称复数平面为高斯平面.复平面特点：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴，原点表示实数0，原点不在虚轴上。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．

其他表达

复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做 代数形式。

下面介绍另外几种复数的表达形式。

①几何形式。

在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面（见本词条附图）

这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定

复数z=a+bi 用复平面上的点 z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。

③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式

z=r（cosθ+isinθ）

式中r= √（a^2+b^2），是复数的模（即绝对值）

θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作argz

这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ），复数就表为指数形式z=rexp(iθ）

复数三角形式的运算

设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1）和r2(cosθ2+isinθ2），那么z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2)+isin（θ1+θ2)]（在复数平面内为莫相乘，角相加。）

z1÷z2=(r1÷r2)[cos（θ1－θ2)+isin（θ1－θ2)]（在复数平面内为模相除，角相减。）

复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行（不包括纯虚数集）

一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。

棣莫佛定理

对于复数z=r(cosθ+isinθ），有z的n次幂

z^n=(r^n)*[cos(nθ）+isin(nθ）]　（其中n是正整数）

复数的开方

若z^n=r(cosθ+isinθ），则

z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）

复数集的分类

数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类

复数（a+bi）——集合符号C

实数（b=0）——集合符号R

有理数——集合符号Q（p/q)

（一）正有理数——集合符号Q+

正整数——集合符号N+或N*

1--质数--合数正分数--0

－负有理数——集合符号Q-

－负整数——集合符号Z-

－负分数

（二）整数——集合符号Z

（自然数）——集合符号N--奇数--偶数--分数--无理数--正无理数--负无理数

－－虚数（b≠0)

－－纯虚数（a=0)

－－混虚数（a≠0）

起源

16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成（5+√-15)*(5-√-15)=25-(-15)=40，尽管他认为5+√15和5-√15这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+bi的形式（a、b都是实数）。法国数学家棣莫弗（1667—1754）在1730年发现了著名的棣莫佛定理（见上文）。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

应用

系统分析

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点

位于右半平面，则因果系统不稳定； 都位于左半平面，则因果系统稳定； 位於虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点都位於右半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关於虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析

信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。

利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：

其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。

电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。）

反常积分

在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。

量子力学

量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基於复数域上无限维的希尔伯特空间。

相对论

如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程。

应用数学

实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t) = e的基函数的线性组合表示。

流体力学

复函数於流体力学中可描述二维势流(2D Potential Flow）。

碎形

一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集(Julia set) 是建基於复平面上的点的。

黎曼猜想轨迹

一，分解质数源数[开拓]：函数[]18rr+1]

1，r*6

2，18rr--r*6+1=0

二，整形第一部分

1，【[r1+r2]*6】*1/2=1

2，【18*[r1]*[r2]-[r1+r2]*6+1】*1/2=0

三，黎曼猜想化为[素数分布球体模式]

数系理论

引子

数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷，而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识，然而，15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。“四元数”的发明，打开了通向抽象代数的大门，同时也宣告在保持传统运算定律的意义下，复数是数系扩张的终点。人类发明的记数法并没有束缚自己的想象力，中国古代“数穷则变”的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义。

数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？

十进制计数法

人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perception of number）。动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。直到1826年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。数系发展的第一个里程碑出现了：位置制记数法。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。

最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例，它是10进的，但却不是位置的。在公元前3000到2000年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positional numeral system），它采用了位置制，却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。

法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道：

用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。

拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，10进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不过，10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

“0”作为记数法中的空位，在位置制记数的文明中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“· ”，最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci,1175 - 1250）编著《算经》（Liber Abacci,1202），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。

大数记法

古代希腊人曾经提出一个问题：他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米德（Archimedes,BC287 - 212）的回答是：不。在《数沙术》中，阿基米德以万（myriad）为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来。他的做法是：从1起到1亿（原文是万万，myriad myriads，这里按照中文的习惯改称为亿）叫做第1级数；以亿（10^8）为第2 级数的单位，从亿起到亿亿（即10^16）叫做第2级数；在以亿亿为单位，直到亿亿亿（10^24）叫做第3级数。直到第1亿级数的最后一数亿亿。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是10^51，即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的天球，也不过只能容纳10^63个沙粒！

同样的问题也出现在中国古代。汉代以前，数皆10进，以10万为亿。韦昭解《国语·郑语》第十六：“计亿事，材兆物，收经入，行垓极”。注称“计，算也；材，裁也。贾唐说皆以万万为亿，郑后司农云：十万曰亿，十亿曰兆，从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。《数术记遗》称：

黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也。其下数者。十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿、万亿曰兆，万兆曰京。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。

《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法，更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有的记数单位去表示它。但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速的扩张，原有的记数单位难以为用。人们不禁要问：

数有穷乎？

这是数系发展中的需要回答的重大命题。《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话，精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理：

徐岳问曰：数有穷乎？

会稽（刘洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与四维。数不识三，妄谈知十。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法，数有十等。……从亿至载，终于大衍。

会稽问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？

先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，且有穷乎！

天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认识无限，而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。即便是今日，“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。

有理数系

位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系[2] ，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。

有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数（unit fraction），阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。

原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。刘徽在《九章算术注》中所言：

众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。

有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通。刘徽深得其中奥秘，称：“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩?解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”

容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。刘徽的注释深刻的阐明了这点：

负数

今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。

负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂费尔（Stifel,1486-1567） 都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹（Cardan,1501- 1576) 把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达(Vieta,1540- 1630) 完全不要负数，帕斯卡（Pascal,1623- 1662） 则认为从0减去4纯粹是胡说。

负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。我们将会看到，负数并不是惟一的例子。

无理数

无理数的发现，击碎了毕达哥拉斯（Pythagoras）学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci,1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler,1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。

中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视。不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣。而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了，既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来。欧多克斯的比例论（见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离。

17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。

无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。

变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由维尔斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。

1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。

努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。

实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。

复数

复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。

1545年，此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物”的挑战。例如卡丹在所著《重要的艺术》（1545）中提出一个问题：把10分成两部分，使其乘积为40。这需要解方程x (10-x) = 40，他求得的根是5-√15 和5+√15 ，然后说“不管会受到多大的良心责备，”把5+√-15和5-√-15相乘，得到25-(-15)=40。于是他说，“算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是有精致又不中用的。”笛卡尔（Descartes,1596-1650）也抛弃复根，并造出了“虚数”（imaginary number）这个名称。对复数的模糊认识，莱布尼兹（Leibniz,1646- 1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的—1的平方根。”

直到18世纪，数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。因为，不管什么地方，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。当然，这并不是说人们对“复数”的顾虑完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《论数学的研究和困难》中依然认为：

"……

已经证明了记号 是没有意义的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来的，它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子（复数）。

……"

我们知道，18世纪是数学史上的“英雄世纪”，人们的热情是如何发挥微积分的威力，去扩大数学的领地，没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的，那又何必去自找麻烦呢？

1797年，挪威的韦塞尔（C. Wessel,1745-1818） 写了一篇论文“关于方向的分析表示”，试图利用向量来表示复数，遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后，才被人们重视。瑞士人阿甘达（J. Argand,1768-1822） 给出复数的一个稍微不同的几何解释。他注意到负数是正数的一个扩张，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系？在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效。他不仅将 a+ bi 表示为复平面上的一点 ( a,b），而且阐述了复数的几何加法和乘法。他还说，如果1，-1 和 原来不称为正、负和虚单位，而称为直、反和侧单位，那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象。他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法，他引进术语“复数”（complex number）以与虚数相对立，并用 i 代替。

在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑，并不满足于几何直观。他指出：复数a+ bi 不是 2 + 3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。复数a+ bi 只不过是实数的有序数对（a，b），并给出了有序数对的四则运算，同时，这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下，不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上，而且至今还有点神秘的-1的平方根也完全消除了。

四元数

回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素。如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数。但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换率。这两个特点都是对传统数系的革命。他称这新的数为“四元数”。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。1878年，富比尼（F.Frobenius,1849 – 1917) 证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数，如果服从结合律，那就只有实数，复数和实四元数的代数。

数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力。哈米尔顿的四元数的发明，使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造。数系的扩张虽然就此终止，但是，通向抽象代数的大门被打开了。

复变初等函数

实变初等函数的推广

我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x(y=0）时与相应的实变初等函数相同。

注意根据这些定义，在z为任意复变数时，

①．哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来

②．哪些相应的实变初等函数的性质不再成立

③．出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。

复变指数函数

e^(a+bi)=e^a*e^bi=e^a*(cosb+isinb)

复数的三角函数

证明：把yi代入泰勒级数，借助sinx=x-x³/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x）和cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... +Rn(x）来化简即可；

同理可得a^ix=cos(xlna)+isin(xlna)= (e^ix)^lna.

借助e^ix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理

英语语法概念

定义

复数指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。

一般方法

（1）直接加-s, 如：bag-bags.

（2）当单数名词结尾为s,z,x,sh,软音ch时加-es, 如：box-boxes, peach-peaches. (o有时也是，如hero-heroes)

（3）不规则变化，如：sheep-sheep, ox-oxen, child-children, man-men, tooth-teeth.