现实数学教育与一位荷兰数学家的名字——弗兰登塔尔(H.Freudenthal,1905-1990)紧密联系在一起。弗兰登塔尔是20世纪最伟大，最有影响的数学教育家。现实数学教育就是指由弗兰登塔尔领衔的荷兰数学教育研究集体在近半个世纪的时间里丰富，发展和完善起来的新型数学教育。弗兰登塔尔指导，推动和亲身参与了荷兰的数学教育改革实践，并对20世纪国际数学课程的改革与发展作出重大贡献。我国正在进行的新一轮数学课程改革也受到了弗兰登塔尔现实数学教育思想的影响和启发。

弗兰登塔尔与现实数学教育

1. 弗兰登塔尔其人

弗兰登塔尔是著名数学家布劳威的学生.他首先以代数拓扑学和泛函分析研究方面的杰出工作确立了其作为国际著名数学家的地位,曾任荷兰数学会的两届主席.作为著名的数学家,弗兰登塔尔非常关注教育问题,他很早就把学习和教学本身作为自己思考和研究的对象.这一点,弗兰登塔尔与其它人有所不同,其它高水平的科学家开始关注和投入研究教育问题时往往是在他们年老之后,而弗兰登塔尔被教育问题所吸引从很早就开始了.他本人对此有一个非常简单的解释:我一生都是做教师,之所以从很早就开始思考教育方面的问题, 是为了把教师这一行做好.早在1936年,弗兰登塔尔31岁的时候就在荷兰组织了著名的"数学教育研究小组"(WVO),成为荷兰数学教育研究的领头人.那时,这个小组每个周末都聚集在弗兰登塔尔家里讨论与数学教育发展关系密切的问题.二战期间,由于战争的原因,研究小组的活动无法进行,但弗兰登塔尔仍没有停顿自己的研究工作.他利用在家中独自教育两个儿子的机会,系统阅读了到那时为止的所有关于算术,比例等与小学数学内容有关的出版物,其中包括数学课本,教学参考书, 以及一些重要的关于算术教育的教材教法理论书籍等等.即使被关在纳粹集中营里,他的阅读和研究也没有停止.弗兰登塔尔的阅读不仅仅是一般的"读",而是运用他关于数学和数学史方面的知识把所有这些出版物都"过滤"了一遍.在"过滤"的基础上结合自己对学生学习过程的观察,他在那个时期就已经得出结论:儿童不可能通过演绎法学会新的数学知识.对传统的数学教育目的提出了置疑.1945年,二战刚刚结束,WVO就举行了战后的第一次研讨会,弗兰登塔尔在这次会上作了题为"思维的教育"的报告,阐述了对长期占据他心灵的算术教育问题的看法:"……无论是谁,无论是教阅读,写作,外语,还是算术或数学或物理,总之无论教什么科目,教师尽管可以不知晓如何才能教的准确,但都应当知道他们正在教的是什么.思维不是一种技能,那到底什么是思维呢 我虽然常常用很多时间深入考虑这个问题,但每当我试图得出一些结果,仿佛要抓住这个奇异的思维的时候,却往往是无功而返,我发现自己只是绕着它转圈子,或者说绕着我所观察的世界兜圈子,思维只是在我的身边飞舞,而我却抓不住它.渐渐的,我从中悟出一些道理,考虑思维问题,应该采用更为实践的目光,而不是以过于理论的方式.……."

弗兰登塔尔在长期的数学教育研究实践中,逐步形成了适应儿童心理发展,符合教育规律,经得起实践检验,并具有自己独特风格的数学教育思想体系.他积累的研究成果和实践经验,不仅改变了荷兰数学教育的面貌,也通过世界范围的相互交流,极大的推动了国际数学教育研究的发展.作为具有国际声望的著名数学教育家,他从1954年起担任了荷兰数学教育委员会的主席,1967年他又担任了国际数学教育委员会(ICMI)的主席.他还是著名的《数学教育研究》(Educational Studies in Mathematics)杂志的创始人.弗兰登塔尔一生发表关于数学教育的著述达几百篇(部),他最重要的数学教育著作包括:

《作为教育任务的数学》(Mathematics as an Educational Task.1973,有中译本),

《播种和除草》(Weeding and Sowing.1978),

《数学结构的教学法现象学》(Didactical Phenomenology of Mathematical Structures .1983)

《数学教育反思》(Revisting Mathematics Education,China Lectures.1991)等等.

在这些著作中,弗兰登塔尔详细论证了为什么必须对传统数学教育进行改革的原因;系统阐述了现实数学教育思想的理论体系;具体探讨了如何按现实数学教育的观点设计数学课程,编写数学教材以及教学方法,师资培训等方面的问题.他的许多结论都是在中小学课堂上经过长期实践之后得出的.他的工作奠定了现实数学教育的理论和实践基础,明确了现代数学教育改革的目标和方向.

1991年,在弗兰登塔尔先生逝世一周年的日子里, 《数学教育反思》作为他的最后一本内容广博的遗著出版了. 这是一部在数学教育发展史上具有承前启后重要历史作用的著作,弗兰登塔尔在这本著作中结合荷兰的数学教育改革实践,探索了现实数学教育思想产生的背景, 追寻了现实数学教育在近半个世纪时间里的发展历程,对现实数学教育的思想和实践进行了系统的总结.这是弗兰登塔尔最重要的数学教育著作,被称之为"后弗兰登塔尔时代现实数学教育发展的基石". 特别是,这本书的副标题是"中国之行演讲集"(China Lectures).这个副标题使我们联想起弗兰登塔尔1985年80高龄之际来中国访问的情景.他那睿智的,充满新鲜思想,并十分具有感染力的演讲曾给中国同行留下十分深刻的印象.这个副标题记录了《数学教育反思》这部重要著作的历史足迹,是从弗兰登塔尔1985年的中国之行开始的.

2.弗兰登塔尔的数学教育研究实践

详细记述弗兰登塔尔的数学教育实践活动是需要相当篇幅的.下面仅通过弗兰登塔尔数学教育研究活动中的几个实例,从不同的侧面反映和揭示弗兰登塔尔是如何从事数学教育研究活动的.他的研究实践对从事数学课程改革的人们来说,将大有裨益.

(1)弗兰登塔尔对"掌握学习法","教育目标分类学"的探究与质疑

"掌握学习法"和"教育目标分类学"都属于布卢姆.

(i)弗兰登塔尔对"教育目标分类学"的质疑和担忧

作为多种杂志的主编,弗兰登塔尔最初是在来稿的参考文献和引文中看到布卢姆名字的.那时他对布卢姆的工作并不了解,因为看的多了,就产生出了解布卢姆的愿望.他希望知道布卢姆的工作到底对这些稿件产生了多大的帮助和推动.但他的研究并没有满足他的希望反而带给他很多困惑.

布卢姆的"教育目标分类学"曾在70年代引起人们极大的关注,几乎被每一本与教育有关的著作所引用. 布卢姆的"教育目标分类学"是有积极意义的,例如它促使人们关注到学生的学习不只是死记硬背,这在当时具有很大的积极意义.但这个"分类学"中隐含的矛盾和问题还是被弗兰登塔尔探究的目光发现了.

布卢姆的"分类学"是一个包括6个范畴的层次结构.这6个范畴依次是:知识,理解,应用,分析,综合和评价.每种知识科目的学习目标,都可以在这些层次中得到安排,并且这个结构中前面层次的目标是实现后面层次目标的条件.因此,在这个结构当中,首先是知识,然后是理解.即学生先应该"知道",然后才是"懂得". 弗兰登塔尔从中发现了这样一些问题:首先"教育目标分类学"缺少某些重要的东西,并且没有这些东西的位置.例如,这6个层次不能被应用于象数学,物理这样的学习科目,因为对这些科目至关重要的观察,实验和设计实验等目标并未在上述任何层次中出现.其次, "教育目标分类学"与学习过程和学习水平等方面的问题没有关系,不感兴趣.最后,"教育目标分类学"只强调目标而没有给出任何关于哪些是值得"教"和值得"学"的东西的任何具体刻划.只是把教育限制在已经设置好的"目标"之中.换句话说,按照"教育目标分类学"的目标体系,首先要检验"教"的内容是否适合这个体系,然后再"教"那些将被这个体系检验的内容.而这样的教育该怎样进行 !

弗兰登塔尔对"教育目标分类学"的质疑和担忧不无道理.

(ii)弗兰登塔尔基本否定了"掌握学习法"

再以主导着70年代中期教育潮流的"掌握学习法"为例,布卢姆在他的著作中提供许多例子说明"掌握学习法"的确是有用的,而弗兰登塔尔已经在布卢姆的著作中发现了一些不准确之处,对"掌握学习法"的功能表示怀疑.为了进一步证明自己的怀疑,弗兰登塔尔反过来研究了那些证明"掌握学习法"的确起作用的例证,为此他甚至在布卢姆工作过的芝加哥大学查阅过有关的未公开发表的论文原稿.他通过探究发现,布卢姆对有些文献资料的引用是不准确的,其中遗留了许多问题未作解答.另外,布卢姆在他的工作中使用了许多数学素材,如矩阵和概率等等,弗兰登塔尔发现布卢姆自己对这些知识的了解无论从量的和质的方面都十分有限.因此,弗兰登塔尔认为"掌握学习法"的思想和实践基础都是很薄弱的.当时,荷兰恰好有一个教学研究中心正在从事关于根据"掌握学习法"的算术教学和不使用这种方法的算术教学的比较研究.弗兰登塔尔针对这个项目深入进行了研究.他发现该项目所提供的事实得不出关于"掌握学习法"能起作用的任何答案.综合自己的考察与研究,弗兰登塔尔在一篇近30页的题为"关于教育的经验性研究"的论文中全面阐述了自己对"掌握学习法"的分析和评价,基本上否定了这种"方法".

目前,我国有不少供中小学生使用的"练习册""习题集""题海"都明确表示"…是按照布卢姆'掌握学习法'原则编写的.""掌握学习法"仍在为增加中小学生课业负担,为"重题不重智,见题不见人"的畸形发展道路推波助澜.弗兰登塔尔对"掌握学习法"的探究应当引起我们的深思.

(2)弗兰登塔尔对皮亚杰认知结构理论方面工作的探究与质疑

"认知结构"理论属于皮亚杰.弗兰登塔尔高度评价皮亚杰作为心理学家对儿童所作的观察,但不满意皮亚杰在认知结构理论方面的工作.弗兰登塔尔在许多文章和著作中指出,皮亚杰经常错误的引用他自己的实验结果,因此他的理论也常常是错的.他的认知结构学说的发展不能看作是对教学法的贡献.其中他主要反对皮亚杰的关于儿童数的概念发展方面的观点和作法.弗兰登塔尔认为皮亚杰事实上并没有处理任何与儿童数的概念发展有关的实质问题.认知结构理论的基本假设是一种知识的结构是可以被构建的.以自然数为例,皮亚杰试图发现不同年龄的儿童是如何了解自然数和构建自然数的知识结构的.然而,他所选中的自然数就其知识结构来说是那个时期最高级,最艰深的知识结构之一.支配自然数结构的基础是基数的理论,具体数的计算在这里反到是无关紧要的.具有讽刺意味的是,"新数运动"中重申了皮亚杰在儿童认知方面的权威性,主张应当基于康托集合论中等势的概念在幼儿园进行数的教学.于是那时出现了这样的情景:老师在黑板上用不同颜色在不同集合的元素之间画连线,以便解释什么是一一对应.但却不提如何数数和计数的问题.这一点给弗兰登塔尔留下了非常深的印象.

另外,皮亚杰认为儿童的认知发展是由"贫乏"(poor)的结构到"丰富"(rich)的结构,即由构造简单的结构到构造复杂的结构.弗兰登塔尔指出,事实上恰好相反.以几何为例:M. Klein已经在爱尔兰根纲领中给出了几何的层次结构:拓扑的,投影的,仿射的和欧几里德的.用弗兰登塔尔的话说这就是一个由"贫乏"到"丰富"的结构.因为任何人都会同意,儿童对几何的认识是从画不规则的圆开始的.如果根据皮亚杰的观点,这个例子就已经足够证明儿童的几何知识发展是从拓扑结构开始的.既然儿童差不多都可以在标准的圆和其它不那么标准的圆之间作出区分,是否意味着小学的现代数学课程就应当从拓扑问题开始呢 弗兰登塔尔对皮亚杰认知结构理论的质疑是有力的.同时对皮亚杰的研究也使弗兰登塔尔自己更加清楚的意识到,"对数学教育应该采用更为实践的目光,而不是以过于理论的方式."

懂数学的人大概都会认同弗兰登塔尔的观点,因为他的质疑有些象"理发师悖论",朴素且无可辩驳.认知结构理论对我国数学教育的影响自不待言,了解弗兰登塔尔的看法,会使我们多几分冷静和少一些盲目.

(3)弗兰登塔尔对"新数学"的抵制

60年代初"新数运动"在世界范围内处于高潮,弗兰登塔尔是当时为数不多的反对者之一.之所以如此,主要基于以下两个原因:一是弗兰登塔尔认为,新数运动的倡导者当中,有许多人虽然是著名的数学家,但对教育方面的问题知之不多,其中有的人此前未做过任何数学教育方面的研究工作,由这样的数学家来主导如此重大的数学教育改革运动是不妥的;二是弗兰登塔尔认为,作为"新数学"出发点的诸如:集合,逻辑,关系等等知识内容过于复杂和抽象,不适宜在学校基础教育中引入.长期的数学教育研究实践,使弗兰登塔尔已经能够区别适合中小学生水平的数学知识内容中,什么是"好"的和什么是"坏"的;什么是有用的和什么是无用的;什么是基本的和什么是重复的;什么是经过深思熟虑和什么是含混不清的.他的观点是,学习数学需要思考,而思考需要实践.所以数学课程首先应当让学生知道他们面对的内容是些什么,要留给学生可以思考和可以动手的空间.如果内容本身象"天外来客"般的让人感到无法琢磨,学生就不知道应该怎样做和怎样思考,就会感到茫然和无能为力."新数学"之所以给人"学过就忘"的感觉,原因就在这里.

那时,受"新数运动"影响,荷兰政府也组建了"数学课程现代化委员会",并开始进行师资培训,打算在中小学引进"新数学".弗兰登塔尔对此明确表示反对.他在写给该委员会主席的信中指出,数学教育现代化与"新数运动"是完全不同的两回事."…我看不出为什么要对课程现代化作那么多宣传,这并不是因为我不喜欢现代数学,而是不喜欢把引进现代数学素材作为第一位的任务,我唯一渴望看到的是数学教育的全面改革…."为了说明作为科学的数学和作为教育的数学的不同功能,弗兰登塔尔作了客观和有说服力的分析,他指出:确实,现代数学是功能强大的.因为仅仅一小块现代数学,就可以解释和说明科学和现实中许多浩繁复杂的现象,经常是几个结构简单的数学公式,就可以给出关系国计民生大计的处理问题模式,而且越是高度抽象的现代数学,其应用领域就越广泛.但这些只表现了现代数学的一个方面.另一方面,抽象就意味着远离现实,数学的系统化,抽象化程度越高,数学离现实情景就越遥远.数学家往往认为,现代数学的力量就体现在它可以脱离产生自己的现实情景而独立存在这一点上.而学校教育应该如何处理系统化与现实之间的关系呢 学校里到底是应该讲授那些作为最终结果的抽象数学结构 还是讲授从丰富的现实情景中抽象出这些结构的数学发现过程 "新数运动"主张的是前者,弗兰登塔尔认为后者才是数学教育的真正目的.因为"……系统化体现了数学的巨大功能,…中学生应当学习数学的这种功能,但我这里所说的学习是指学习形成这种系统化的数学活动过程,而不是系统化的最后结果.因为系统化的最后结果是一个系统,是一个漂亮的封闭的系统,封闭到没有入口和出口…….学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学,而是作为一项人类活动的数学,即从现实生活出发的数学化过程.如果需要也可以包括从数学本身出发的数学化过程……."而"新数学"的内容是一些经过精心组织的,条理清晰的数学结构,因为这样组织起来的内容便于向学生脑子里嵌入成套的数学结构和逻辑的思考方法.所以对"新数学"来说只能采用"灌输"式的教学方式,学生的参与也只能是被动的.这是一种类似于把学生训练成计算机的教育模式,即学生只能被动的执行程序,缺少留给他们自己发挥主动性和创造性的空间.其结果,不仅在计算方面人无法与计算机相比,相反却极大的抑制了学生主动性和创造性的发展.基于此,弗兰登塔尔强调指出,数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.他认为,即使是儿童,也已经具有某种"潜在的发现能力",他们的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至研究人员的特征,让他们重复人类数学发现的活动是完全可能的.数学教育应当从发展这种潜能出发,从学生熟悉的现实生活开始,沿着人类数学发现的活动轨迹,从生活上的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步让学生通过自己的发现去学习数学,获取知识. 使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论,实现数学的"再发现".

弗兰登塔尔针对"新数运动"提出的观点,在弗兰登塔尔第一部重要的数学教育著作《作为教育任务的数学》(1973)中进行了系统的归纳和阐述.

在"新数运动"这样的重大事件面前,弗兰登塔尔没有盲目附合,而是采取一种冷静和客观的分析态度,他对"新数运动"的分析和评价,后来一一被实践所验证.弗兰登塔尔的看法以及他个人在数学教育领域的巨大影响力,使荷兰最终抵制了"新数学",不仅免受"新数运动"的折腾,而且保持了本国数学教育改革的平稳发展.这种情形在当时的欧洲和整个世界是不多见的.

上面几个片段,在一定程度上反映了弗兰登塔尔从事数学教育研究的态度.在"新数运动"这样的重大事件面前,对布卢姆,皮亚杰这样"大家"的观点,弗兰登塔尔不是盲目符合,而是首先持一种分析的态度,投以一种探究的目光.弗兰登塔尔的观点也许有可供商榷之处,但他那种孜孜以求,不断探索的科学精神,是值得我们借鉴和深思的.弗兰登塔尔之所以能够成为国际著名的数学教育家,大概可以从这里找到一些原因吧.

(4)弗兰登塔尔亲手缔造了世界著名的弗兰登塔尔研究所.

弗兰登塔尔研究所(Freudenthal Inst)的前身是成立于1971年的荷兰"数学教育发展研究所",简称IOWO.1981年,IOWO归属于荷兰乌特勒之大学,作为一个系级研究所与数学系与计算机系一起组成乌特勒之大学数学和信息科学学院,并更名为"数学与计算机教育中心"简称OW&OC.1990年弗兰登塔尔先生逝世后,为纪念这位数学教育研究的先驱者,该研究所从1992年更名为弗兰登塔尔研究所.简称FI.这是一个以数学课程发展研究为主,兼及计算机和其它科学学科课程研究的综合性数学课程研究所,弗兰登塔尔先生提出的数学教育思想----现实的数学教育,是该所一切研究工作的理论和实践基础.

FI现有专职研究人员近30人,其中包括数学,计算机科学,物理学,心理学和师资培训,教育学研究方面的专家,另外数学系和计算机系的许多研究人员都兼做FI的研究工作.在荷兰国内和世界其它国家还有许多专家,学者参与FI的研究项目,以FI为主导,形成了一个很大的数学教育研究网络,荷兰教育部也与FI有着密切的联系.

在荷兰,FI的工作对荷兰的中小学数学课程有着举足轻重的影响.目前80以上的荷兰中小学生正在使用根据FI的研究成果编写或直接由FI研究人员编写的数学课本.

在国际上,FI主持和参与了许多关于数学课程发展的研究项目,目前FI正在与美国,西班牙,阿根廷,奥地利,南非,波利维亚等国合作开展这方面的研究工作,合作范围包括:数学课程设计,数学教材及其教学参考书的编写,师资培训,新教育技术特别是计算机辅助教育技术的开发与推广,数学教育基本理论,数学教育评价等许多方面.与FI有合作关系的国家已达50多个.我国已经与FI建立了联系,但目前尚无具体的合作项目.

3.弗兰登塔尔的数学课程观

弗兰登塔尔对数学课程和数学课程发展的看法可以归结为以下两个基本方面:

(1)数学在本质上是一项人类活动,通过数学课程让学生重复人类数学发现的过程是可能的

"数学是一项人类活动"是著名数学家布劳威的名言..弗兰登塔尔是布劳威尔的学生,并于1930年担任了布劳威尔的助教.弗兰登塔尔继承了布劳威尔的观点,并把这一观点引入数学教育领域."数学教育需要发展,应以一种新的观点来认识作为教育的数学和数学学习.归根到底,数学是一项人类活动,所以作为教育的数学也要作为一项人类活动来看待."学校中的数学不是那些封闭的系统,而是作为一项人类活动的数学,是从现实生活开始的数学化过程……."学生具有"潜在的发现能力",他们本身的思维和行为方式已经具备了教师甚至研究人员的特征,在他们身上实现重复人类数学发现的活动是可能的.数学教育应当发展这种潜能,使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论,实现数学的"再发现".根据这样的观点,数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.数学教育应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现的活动轨迹,从生活上的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学,获取知识得到抽象化的数学知识之后,再把它们应用到新的现实问题上去.按照这样的途径发展,数学课程就能够地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系,有益于学生理解数学,热爱数学和使数学成为他们生活中有用的本领.数学课程,应当是引导学生重复人类数学发现的过程,实现数学再发现和再创造的过程的课程.

(2)数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始和结束.

根据弗兰登塔尔的观点,数学课程不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现过程中人类的活动轨迹,从生活中的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学,获取知识.得到抽象化的数学知识之后,再及时把它们应用到新的现实问题上去.按照这样的途径发展,数学教育才能较好地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系,才能有益于学生理解数学,热爱数学和使数学成为生活中有用的本领.

弗兰登塔尔倡导的这种数学课程经过三十年来荷兰几代数学教育工作者的探索和实践,得以不断丰富,完善和发展,形成了今天的富有特色的荷兰现实数学课程.

4.荷兰现实数学课程的特征

弗兰登塔尔的数学课程观在实践中不断丰富,完善和发展,形成了今天富有特色的荷兰现实数学课程.现实数学课程有如下五个基本特征:

a. 运用情景问题;

b. 采用模式;

c. 学生自己得出的结论和创造是课程内容的一部分;

d. 教学过程重在交流;

e. 不同数学内容相互交织在一起.

上述特征包括了数学教学和学习两个方面,弗兰登塔尔的数学课程观通过这五个方面得以具体体现.其中的两个核心概念是:情景问题,数学化.情景问题解释了数学课程如何从学生熟悉的现实生活开始和结束;数学化则具体指出怎么才能使数学课程帮助学生重复人类数学发现的过程.下面分别做些分析:

(1).情景问题

传统的数学课程内容是作为科学的数学的一部分,它提供的是一些现成的数学结构和结果.按照弗兰登塔尔的思想,这些内容是不能直接用于课堂的.学生应当通过他们自己的再发现重新构建这些数学结构.所以,数学课程应从现实生活出发.具体到课本上,数学课程应当从与现实生活密切相关的情景问题出发,学生在课堂上通过这些情景问题自己去发现数学概念和解决实际问题.

现实数学教育中的情景问题是指那些与学生熟悉的现实生活有关的问题.情景问题是直观的和容易引起想象的数学问题.情景问题的特点是,问题的数学背景包含在丰富的现实情景之中,而且与学生已经了解或学习过的数学知识相关联,特别地,与那些学生已经具有的,但未经训练和不那么严格的数学知识相关联.如果条件合适,情景问题可以就是现实生活中的真情实景.另外,由于情景问题是学生自己作出发现的土壤,所以任何有利于数学发现的问题都可作为情景问题,其中包括一些抽象的数学系统和传说中的故事,神话,童话等等,它们虽不具备真情实景,但同样是学生作出数学发现的源泉,是课堂讨论的基础,学生通过情景问题去发现新的数学概念,通过自己的发现去解决新的情景问题.情景问题是现实数学的出发点,也是学生应用数学的领域.现实世界与数学世界之间,具体与抽象之间的联系就是用情景问题建立并沟通的.现实数学课程的教材内容完全是由这样的情景问题串连而成.可以说,现实数学教育的课本形式就是"情景问题串".

在本章后面"教材实录"一节,将具体介绍"情景问题"在数学课本中的具体表现.

(2)数学化

数学化是现实数学课程的主题.现实数学课程是关于数学再发现的课程.这里的"再发现"就是数学化.所以,现实数学教育亦可称为关于如何实现数学化的教育.数学化是现实数学教育思想体系中最重要的概念.一般说来,数学化是一种由现实问题到数学问题,由具体问题到抽象概念的认识转化活动,是人类发现活动在数学领域里的具体体现.现实数学课程中所说的数学化,泛指学习者从一个具体的情景问题开始,到得出一个抽象数学概念的教育全过程,具体说来,现实数学课程所说的数学化可分为先后两个层次:水平数学化和垂直数学化.

水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化,是把情景问题表述为数学问题的过程.大体包括以下内容:

·确定情景问题中包含的数学成分;

·建立数学成分与已知的数学模型之间的联系;

·通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化;

·找出蕴含其中的关系和规则;

·考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现;

·作出形式化的表述;

水平数学化是发现情景问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理的数学化过程,是从现实生活到数学符号的转化.通过水平数学化,一个现实问题转化为数学问题.

垂直数学化是在水平数学化之后进行的数学化,是从具体问题到抽象概念和方法的转化,是建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程.垂直数学化大体上包含以下内容:

·用数学公式表示关系;

·对有关规则作出证明;

·尝试不同数学模型的建立和使用;

·对得出的数学模型进行调整和加工;

·综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模型;

·用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方法;

·推广和一般化.

垂直数学化是在数学的范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理的数学化过程,是从符号到概念的转化.

在经过数学化得到一个新的数学概念之后,还需要对已经得到的概念,模型,技巧作进一步的理解和把握,下面这些活动也是数学化的一部分:

·对得出的结果作出解释和说明;

·对得到的模型和方法的适用范围进行讨论;

·回顾,总结和分析已经完成的数学化过程;

·应用.

在许多情况下,水平数学化和垂直数学化的界限是不那么分明的.