简介

第一节 分式的基本概念(法则)

第二节 分式的基本性质和变形应用

第三节 分式的四则运算

第四节 分式方程(分式方程的解法 列分式解应用题的步骤 分式约分)

简介

第一节 分式的基本概念

形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

掌握分式的概念应注意：

判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足。

（1）分式的分母中必须含有未知数。

（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式

无理式和有理式统称代数式

法则

1.约分：

把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分。

2.分式的乘法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置（除数的倒数）后再与被除式相乘。

3. 分式的加减法法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

4.通分：

异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：3/2和2/3可化为9/6和4/6.即：3*3/2*3，2*2/3*2！

5.异分母分式的加减法法则：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

第二节 分式的基本性质和变形应用

1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C（A,B,C为整式，且B、C≠0）

2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

3.分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去.

注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式.

5.通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。

6.分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子.

注：最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。

注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质

（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。

第三节 分式的四则运算

1.同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：a/c±b/c=(a±b)/c

2.异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：a/b±c/d=(ad±cb)/bd

3.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd

4.分式的除法法则：（1）.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。a/b÷c/d=ad/bc

（2）.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c

第四节 分式方程

1.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解法：①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.

分式方程的解法

①去分母{方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项， 系数化为1）求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.

验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代进去检验。

列分式解应用题的步骤

列分式方程解应用题的一般步骤为：

（1）设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；

（2）列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；

（3）列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；

（4）解方程并检验；

（5）写出答案。

在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。

【典型例题】

（2010湖南邵阳）小明离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆。已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。

（1）小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？

（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？

【解析】（1）设步行的速度为x米/分钟，则骑自行车的速度为3x米/分钟。

依题意得，（2400╱x）-（2400╱3x）=20

解得x=80，3x=240 经检验 x=80是原方程的根。

答：小明步行的速度是80米/分钟。

（2）来回家取票总时间为：（2400╱x）+（2400╱3x）+2=42分钟<45分钟

所以能在球赛开始前赶到体育场。

归纳：

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

例题：

（1）x/(x+1）=2x/（3x+3）+1

两边乘3(x+1）

3x=2x+（3x+3）

3x=5x+3

2x=-3

x=-3/2

分式方程要检验

经检验，x=-3/2是方程的解

（2）2/（x-1）=4/（x^2-1）

两边乘（x+1）(x-1）

2(x+1）=4

2x+2=4

2x=2

x=1

分式方程要检验

把x=1带入原方程，使分母为0，是增根。

所以原方程2/x-1=4/x^2-1

无解

必须要检验！！

检验格式：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0，则a是原方程的增根.若x=a使最简公分母不为零，则a是原方程的根。

注意：可凭经验判断是否有解。若有解，代入所有分母计算：若无解，代入无解分母即可.

分式约分

如果分子和分母是多项式，要把多项式分解因式再约分

如：x^2-2x+1/x^2-1=(X-1）^2/(X+1）(X-1）=X-1/X+1

最简分式：分子分母没有公因式————如上！

分式的通分：将n个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母分式

分式的分子和分母都同时乘以或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。这个是分式的基本性质