1202年数学家菲波那契提出了一个著名的兔子问题：假定一对兔子从第三个月起逐月生一对一雌一雄的小兔，每对小兔在两个月后也逐月生一对一雌一雄的小兔，…。问一年之后兔房里共有多少对兔子？

菲波那契是这样来考虑的：设第n个月后兔房里的兔子数为an对，这an应由以下两部分组成：一部分是第n﹣1个月时已经在兔房里的兔子，它们有an﹣1对；另一部分是第n个月中新出世的，而这部分应有第n﹣2个月时兔房里的兔子所生，有a n﹣2对。

∴有递推关系式(An+1)=(An)+(An-1)（n∈N且n>2），且易知A1=A2 =1。由这个递推关系式可以得到一年后的兔子对数A12=144。这也是递推方法应用的一个最著名的例子。

按照如上的递推，菲波拉契数列前几项如下：

1 1 2 3 5 8 13 21……

从数学上，该数列也是可以推导出通项公式的，其通项公式推导如下：

(An+1)=(An)+(An-1),将An项分解为(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An)，然后移项，得到下式：

(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1)

即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1))

即新数列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)为首项，((1-√5)/2)为公比的等比数列

即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n

即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n

两边同时除以((1+√5)/2)^n，得又一新数列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1))

其中，(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n)

依次递归，得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n))

将Bn带入，化简，得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5)

(注√表示根号)

该数列有以下几个性质：

1.随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割比

2.从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1

3.如果任意挑两个数为起始，按照菲波拉契数列的形势递推下去，随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割比，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值(菲波拉契数列的推广)。