【反函数的性质】

２、反函数的分段求法

３、反函数的定义

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y= f ‘（x）。　存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)

【反函数的性质】

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（2）函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）。奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数（偶函数）大部分没有反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

(5)一切隐函数具有反函数；

(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。

（8）反函数是相互的

（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）

(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）

２、反函数的分段求法

（１）分别求出各段函数的反函数。

（２）将反函数合在一起

例：求ｆ（ｘ）＝｛ｘ＾２＋１，ｘ＜＝－１；－ｘ＋１，ｘ＞－１｝的反函数

解：当ｘ＜＝－１时，ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ＾２＋１＞＝２．

又有ｙ＝ｘ＾２＋１得，ｘ＝－（ｙ－１）＾（１／２）．

大家应该会解吧

＾－＾

３、反函数的定义

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f‘(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 说明：⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数. ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f’(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f’(x)的定义域（如下表）： 函数y=f(x) 反函数y=f’(x)　定义域 A C　值 域 C A　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f’(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f’(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f‘(x)=x/2-3.　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a　反函数的应用：　直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的　1.先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域　（我们知道函数的三要素是定义域，值域，对应法则，所以先求反函数的定义域是球反函数的第一步）　2.反解x，也就是用y来表示x　3.改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x　4.写出原函数及其值域