无限区间上的积分或无界函数的积分，这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.

1.无限区间上的积分

一般地，我们有下列定义

定义6.2 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取t>a,如果极限 当t→+∞时lim∫f(x)dx （t为上限，a为下限）存在，就称此极限值为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积分.记作∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）

即 ∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）=lim(t→+∞)∫f(x)dx（t为上限，a为下限）　（ 6.24 ）

这时我们说广义积分∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限） 存在或收敛；

如果 不存在，就说函数f(x)在无穷区间[a,+∞)的反常积分没有意义或发散

类似地，可以定义 在区间(-∞,b]及取t<b上的广义积分∫f(x)dx（b为上限，-∞为下限）.

（ 6.25 ）

其中∫f(x)dx(b上限，-∞为下限)=lim(t→-∞)f(x)dx （b上限，t下限）　（ 6.26 ）

对于广义积分 ，其收敛的充要条件是： 与 都收敛.

广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无穷远点应取极限.

为方便起见，引入记号

，

这样，若 为 的一个原函数，则

（ 其中 ）

注意：这里 与 是独立变化的，不能合并成 .

2.无界函数的积分

先给出瑕点或奇点的概念，若 函数（或 ）时， ，则点 （或点 ）称为无界函数 的瑕点或奇点. 的无穷间断点就是 的瑕点.

定义6.3设函数 在 上连续，左端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作

（ 6.27 ）

这时我们说广义积分 存在或收敛.如果 不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散.

注： 表明 从大于0的方向趋于0，已经隐含了 .

类似地，设函数 在 上连续，右端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作

　（ 6.28 ）

这时我们说广义积分 存在或收敛.如果

不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散.

还有，设函数 在 上连续，左端点 、右端点 均为 的瑕点，如果

及 均存在，其中 为 内的一个确定点，且 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作

如果 及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散.

对于区间端点 、 均为 的瑕点的广义积分 有存在 和 均存在. 和 都存在.

其中 为 内的一个确定点，且 与

两者之间是独立变化的，

另外，设函数 在 上除一个内部点 外连续

，且内部点 为 的瑕点，如果 和 均存在，也即 和 都存在，其中 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作

（ 6.29 ）

如果 及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散.

对于内部点 为 的瑕点的广义积分 有

存在和 均存在.和 都存在.

广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及广义牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开，参见例5与例6.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无界点处原函数应取极限.

为方便起见，引入记号

左端点为瑕点时，记 ，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为

右端点 为瑕点时， 记 ，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为

左端点 、右端点 均为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为

（ 为 内的一个确定点）

（ ）

( 这里 的值有时不必马上算出，可对抵掉. )

仅内部点 为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为

注意：由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点.有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分.若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.