定义

运算法则(二项式与因子的乘法 二项式间的乘法 二项式的平方 二项式的幂 二项式的因式分解 二项式的递推)

二项式的多种形式线性形式(复数形式)

二项式定理(排列与组合 系数性质 赋值法)

数形趣遇 算式到算图

定义

在初等代数中，二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和。二项式是仅次于单项式的最简单多项式。

运算法则

二项式与因子的乘法

二项式与因子 c 的乘法可以根据分配律计算：

(a+b)c=ac+bc

二项式间的乘法

两个二项式 a+b 与 c+d的乘法可以通过两次分配率得到：

(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd

两个线性二项式 ax+b 与 cx+d 的乘积为：

(ax+b)(cx+d)=ac x^2+(ad+bc)x+bd

二项式的平方

二项式 a+b 的平方为

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

二项式 a-b的平方为

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

二项式的幂

(a+b)^n的二项式 a + b的 n次幂可以用二项式定理或者等价的杨辉三角形展开。

二项式的因式分解

二项式 a− b可以因式分解为另外两个二项式的乘积：

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

二项式的递推

二项式展开后各项的系数依次为：图——推广公式其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为

这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.

二项式的多种形式线性形式

如果二项式的形式为

ax+b其中 a与 b是常数，x是变量，那么这个二项式是线性的。

复数形式

复数是形式为

a+b i的二项式，其中 i 是 -1 的平方根。

二项式定理

binomial theorem

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。此定理指出：

其中，二项式系数指...

等号右边的多项式叫做二项展开式。

二项展开式的通项公式为

其i项系数可表示为:见图右，即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为：

1 n=01 1 n=1

1 2 1 n=2

1 3 3 1 n=3

1 4 6 4 1 n=41 5 10 10 5 1 n=5

1 6 15 20 15 6 1 n=6

…………………………………………………………

（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）

排列与组合

1、Cn0+Cn1+Cn2…+Cnk+…+Cnn=2^n

2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0

3、Cn0+Cn2+Cn4+……=Cn1+Cn3+Cn5+……=2^(n-1)

证明：由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n

当a=b=1时，代入二项式定理可证明1

但a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2

4.组合数的性质：

（1）：C(m，n)=C（n-m，n）

（2）：C（m，n+1）=C（m，n）+C(m-1，n)

（3）：C（0，n）=C（n，n）=1

系数性质

①对称性：

②增减性和最大值：先增后减

n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2+1

n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2，T[(n+1)/2+1]

赋值法

掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.

证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。

二项式系数之和:

2的n次方

而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方

二项式定理的推广：

二项式定理推广到指数为非自然数的情况：

形式为

注意：|x|<1

(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n

数形趣遇 算式到算图

二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.

【图算】常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

…… 15 20 15 6 …

1 …… 35 35 21 ……

… 70 56 …

图上得到=70，==56.

故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42

【点评】 “式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.<, /o:p>

杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：

1，6，15，20，15，6，1

那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.

杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.

利用二项式推出牛顿切线法开方

开立方公式：

设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个标准的公式：

X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3(n，n+1是下角标）

例如，A=5，,即求

5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：

第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。

即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值,，即1.7。

第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.

第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;

当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5&sup2;-1.5）1/3=1.7。

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即

X(n + 1) = Xn + (A / Xn-Xn)1 / 2.

例如，A=5：

5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

A=(X±Y)^n=展开。带入公式就是开方公式。X(n+1)=Xn+(A/X^（k-1）-Xn)1/k=Xn-f（x）/f‘（x）。

f'（x）=kx^(K-1);f(X)=X^K-A。即牛顿切线法

就是在开方过程中把牛顿二项式定理转换成为牛顿切线法。

二项式定理的证明

采用数学归纳法可行。