二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。

概述

特性

运算(加法运算步骤 减法运算步骤 乘法运算步骤 除法运算步骤)

二进制编码

计算机采用二进制的原因(1. 容易表示 2. 运算简单)

进制的转换技巧(十进制转换为二进制技巧 二进制与八进制十六进制转换技巧)

概述

二进制数是逢2进位的进位制，0、1是基本算符；计算机运算基础采用二进制。电脑的基础是二进制。在早期设计的常用的进制主要是十进制（因为我们有十个手指，所以十进制是比较合理的选择，用手指可以表示十个数字，0的概念直到很久以后才出现，所以是1－10而不是0－9）。电子计算机出现以后，使用电子管来表示十种状态过于复杂，所以所有的电子计算机中只有两种基本的状态，开和关。也就是说，电子管的两种状态决定了以电子管为基础的电子计算机采用二进制来表示数字和数据。常用的进制还有8进制和16进制，在电脑科学中，经常会用到16进制，而十进制的使用非常少，这是因为16进制和二进制有天然的联系：4个二进制位可以表示从0到15的数字，这刚好是1个16进制位可以表示的数据，也就是说，将二进制转换成16进制只要每4位进行转换就可以了。

二进制的“00101000”直接可以转换成16进制的“28”。一个字是电脑中的基本存储单元，根据计算机字长的不同，字具有不同的位数，现代电脑的字长一般是32位的，也就是说，一个字的位数是32。字节是8位的数据单元，一个字节可以表示0－255的数据。对于32位字长的现代电脑，一个字等于4个字节，对于早期的16位的电脑，一个字等于2个字节。

加法 0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10

减法 0－0=0，1－0=1，1－1=0，0－1=-1，10100-1010=1010

乘法 0×0=0，0×1=1×0=0，1×1=1

除法 0÷1=0，1÷1=1

只有0和1两个数码，基数为二。

特性

1、如果一个二进制数（整型）数的第零位的值是1，那么这个数就是奇数；而如果该位是0，那么这个数就是偶数。

2、如果一个二进制数的低端n位都是零，那么这个数可以被2n整除。

3、如果一个二进制数的第n位是一，而其他各位都是零，那么这个数等于2^n。

4、如果一个二进制数的第零位到第n - 1位都是1，而且其他各位都是0，那么这个数等于2^n - 1。

5、将一个二进制数的所有位左移移位的结果是将该数乘以二。

6、将一个无符号二进制数的所有位右移一位的结果等效于该数除以二（这对有符号数不适用）。余数会被下舍入（rounddown)

7、将两个n位的二进制数相成可能会需要2*n位来保存结果。

8、将两个n位的二进制数相加或者相减绝不会需要多于n 1位来保存结果。

9、将一个二进制数的所有位取反（就是将所有的一改为零，所有的零改为一）等效于将该数取负（改变符号）再将结果减一。

10、将任意给定个数的位表示的最大无符号二进制数加一的结果永远是零。

11、零递减（减一）的结果永远是某个给定个数的位表示的最大无符号二进制数。

12、n位可以表示2n个不同的组合。

13、数2年包含n位，所有位都是一。

运算

二进制数的运算除了有四则运算外，还可以有逻辑运算。

下面分别予以介绍。

二进制数的四则运算

二进制数与十进制数一样，同样可以进行加、减、乘、除四则运算。其算法规则如下：

加运算：0 0=0，0 1=1，1 0=1，1 1=10，#逢2进1；

减运算：1-1=0，1-0=1，0-0=0，0-1=1，#向高位借1当2；

乘运算：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1，#只有同时为“1”时结果才为“1”；

除运算：二进制数只有两个数（0，1），因此它的商是1或0。

加法运算步骤

如下：

（1）首先是最右数码位相加。这里加数和被加数的最后一位分别为“0”和“1”，根据加法原则可以知道，相加后为“1”。

（2）再进行倒数第二位相加。这里加数和被加数的倒数第二位都为“1”，根据加法原则可以知道，相加后为“（10）2”，此时把后面的“0”留下，而把第一位的“1”向高一位进“1”。

（3）再进行倒数第三位相加。这里加数和被加数的倒数第二位都为“0”，根据加法原则可以知道，本来结果应为“0”，但倒数第二位已向这位进“1”了，相当于要加“被加数”、“加数”和“进位”这三个数的这个数码位，所以结果应为0 1=1。

（4）最后最高位相加。这里加数和被加数的最高位都为“1”，根据加法原则可以知道，相加后为“（10）2”。一位只能有一个数字，所以需要再向前进“1”，本身位留下“0”，这样该位相加后就得到“0”，而新的最高位为“1

减法运算步骤

（1）首先最后一位向倒数第二位借“1”，相当于得到了（10）2，也就是相当于十进制数中的2，用2减去1得1。

（2）再计算倒数第二位，因为该位同样为“0”，不及减数“1”大，需要继续向倒数第三位借“1”（同样是借“1”当“2”），但因为它在上一步中已借给了最后一位“1”（此时是真实的“1”），则倒数第二位目前为1，与减数“1”相减后得到“0”。

（3）用同样的方法倒数第三位要向它们的上一位借“1”（同样是当“2”），但同样已向它的下一位（倒数第二位）借给“1”（此时也是真实的“1”），所以最终得值也为“0”。

（4）被减数的倒数第四位尽管与前面的几位一样，也为“0”，但它所对应的减数倒数第四位却为“0”，而不是前面几位中对应的“1”，它向它的高位（倒数第五位）借“1”（相当于“2”）后，在借给了倒数第四位“1”（真实的“1”）后，仍有“1”余，1 –0=1，所以该位结果为“1”。

（5）被减数的倒数第五位原来为“1”，但它借给了倒数第四位，所以最后为“0”，而此时减数的倒数第五位却为“1”，这样被减数需要继续向它的高位（倒数第六位）借“1”（相当于“2”），2–1=1。

（6）被减数的最后一位本来为“1”，可是借给倒数第五位后就为“0”了，而减数没有这个位，这样结果也就是被减数的相应位值大小，此处为“0”。

在二进制数的加、减法运算中一定要联系上十进制数的加、减法运算方法，其实它们的道理是一样的，也是一一对应的。在十进制数的加法中，进“1”仍就当“1”，在二进制数中也是进“1”当“1”。在十进制数减法中我们向高位借“1”当“10”，在二进制数中就是借“1”当“2”。而被借的数仍然只是减少了“1”，这与十进制数一样。

乘法运算步骤

把二进制数中的“0”和“1”全部当成是十进制数中的“0”和“1”即可。根据十进制数中的乘法运算知道，任何数与“0”相乘所得的积均为“0”，这一点同样适用于二进制数的乘法运算。只有“1”与“1”相乘才等于“1”。乘法运算步骤：

（1）首先是乘数的最低位与被乘数的所有位相乘，因为乘数的最低位为“0”，根据以上原则可以得出，它与被乘数（1110）2的所有位相乘后的结果都为“0”。

（2）再是乘数的倒数第二位与被乘数的所有位相乘，因为乘数的这一位为“1”，根据以上原则可以得出，它与被乘数（1110）2的高三位相乘后的结果都为“1”，而于最低位相乘后的结果为“0”。

（3）再是乘数的倒数第三位与被乘数的所有位相乘，同样因为乘数的这一位为“1”，处理方法与结果都与上一步的倒数第二位一样，不再赘述。

（4）最后是乘数的最高位与被乘数的所有位相乘，因为乘数的这一位为“0”，所以与被乘数（1110）2的所有位相乘后的结果都为“0”。

（5）然后再按照前面介绍的二进制数加法原则对以上四步所得的结果按位相加（与十进制数的乘法运算方法一样），结果得到（1110）2×（0110）2=（1010100）2。

除法运算步骤

（1）首先用“1”作为商试一下，相当于用“1”乘以除数“110”，然后把所得到的各位再与被除数的前4位“1001”相减。按照减法运算规则可以得到的余数为“011”。

（2）因为“011”与除数“110”相比，不足以被除，所以需要向低取一位，最终得到“0111”，此时的数就比除数“110”大了，可以继续除了。同样用“1”作为商去除，相当于用“1”去乘除数“110”，然后把所得的积与被除数中当前四位“0111”相减。根据以上介绍的减法运算规则可以得到此步的余数为“1”。

（3）因为“1”要远比除数“110”小，被除数向前取一位后为“11”，仍不够“110”除，所以此时需在商位置上用“0”作为商了。

（4）然后在被除数上继续向前取一位，得到“110”。此时恰好与除数“110”完全一样，结果当然是用“1”作为商，用它乘以除数“110”后再与被除数相减，得到的余数正好为“0”。证明这两个数能够整除。

这样一来，所得的商（1101）2就是两者相除的结果。

二进制编码

在日常生活中，我们常常使用各种编码，如省份证号码、电话号码、邮政编码等，这些编码都是由十进制数组成的。

同理，在计算机中采用由若干位二进制数组成的编码【简称二进制编码】来表示字母、符号、汉字、颜色等非数值信息。

为了表示不同类型的信息，人们研究出了各种各样的编码方案。

其中，ASCII码就是被普遍采用的一个字符信息编码方案，它用8位二进制数表示各种字母和符号，例如：

01000001表示A 01000010表示B

汉字字数较多，因此目前用16位二进制数表示常用的汉字，例如：

10100111 11000000 表示“青”

10010101 10011010 表示“岛”

1980年中国为6763个常用汉字规定了编码，称为国家标准汉字编码，简称GB码。在Windows95/98/2000/xp中文版操作系统中，使用的是GBK码，它能表示20902个汉字。

8个二进制位称为一个字节【Byte，简称为B】。字节是最基本的信息储存单位，一个字节可以储存一个英文字母或符号编码，两个字节可以储存一个汉字编码。

同二进制数一样，二进制编码也是计算机内部用来表示信息的一种手段，人们平时和计算机打交道时，根本不用理它。我们仍然用人们习惯的方式输入或者输出信息，期间的转换则由计算机自动去完成。

计算机中一个存储单位（即一个字节）里存放的究竟是二进制数还是二进制编码？是英文是汉字？事实上它们都由程序进行识别。例如，表示英文字符的8位二进制编码的最高位是0，而表示汉字两个8位二进制编码的最高位是1，这一点就是程序区别存储单位里存放的是英文还是汉字的一个依据。

实例对照

十进制数→二进制数

十进制　0　1　2　3　4　5　6　7　8　9　10

二进制　0000　0001　0010　0011　0100　0101　0110　0111　1000　1001　1010　16→10000

46→101110

99→1100011

888→1101111000

7654→1110111100110

10000→10011100010000

注：一般为了区别二进制数与十进制数，再二进制数后加上一个“B”，如145→10010001B

通常我们所说的数字，一般都是十进制，10分就1毛，10毛就1块…….....这些数字只是由十个数组成，那就是：0.1.2.3.4.5.6.7.8.9[我们一般称之为基数]

都是这些数，但它们处于不同位置所代表的重量就不一样了哦，如111，都是1但就是不一样，这就涉及到了位权的概念了，可用以下实例来说明。一个十进制数结4 5 5 3 .8 7可表示为：

4553.87=4×10(3)+5×10(2)+5×10(1)+3×10(0)+8×10(-1）×7×10(-2)　[声明：（N）表示的是N次方]

在这个数中，有些相同的数字由于处在不同的位置，它们代表的数值的大小也不同，各位数字所代表的数值的大小是由位权来决定的。位权是一个乘方值，乘方的底数为进位计数制的基数（本例中为1 0 ），而指数由各位数字在数中的位置来决定。以上的十进制数中，从左至右各位数字的位权分别为：10(3）、10(2).10(1）、10(0）、10(-1）、10(-2）。一般

而言，在进位制中，把一个数中各位数字为1时代表的数值大小称为位权。如456它们的位权就是当各位为1时的数值大小，456中的4的位权就是10(2),5的位权就是10(1),6的位权就是10(0).

除了位权对于进制记数的另一个重要概念就是基数，基数很好理解，就是进位计数制中所使用的不同基本符号的个数称为该计数制的基数，比如十进制就是1.2.3.4.5.6.7.8.9.0这十个数，相对而言二进制就两个基数：0和1,八进制就是：0.1.2.3.4.5.6.7.8,十六进制就是：0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.A.B.C.D.E.F

由上面两个概念可以得出以下公式：[以下将详细说名]

N进制的基数就能表示为：0.1.2......N-2.N-1

N进制的权一般可以表示：N(X)[X是X乘方，X就是某数在它的数列中所处位置]

N进制展开成十进制公试：如abcdefg.hijk=a*N(6)+b*N(5)+c*N(4)+d*(3)+e*(2)+f*N(1)+g*N(0)+h*N(-1)+i*N(-2)+j*N(-3)+k*N(-4)

十进制：有10个基数：0 ~~ 9 ，逢十进一

二进制：有2 个基数：0 ~~ 1 ，逢二进一

八进制：有8个基数：0 ~~ 7 ，逢八进一

十六进制：有16个基数：0 ~~ 9，A，B，C，D，E，F (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15) ，逢十六进一

由于大家从小娃仔开始就学习十进制，生活中用途更是广泛，一种单一的数字思维模式使我们很多人以为就只有这么一种进制数.在以下给大家说说计算机中用得最多的进制数，让大家开阔思维，不要停留于一成不变的思维模式中.

计算机中用得最多也是CPU唯一能认出的数制，那就是二进制.计算机是处理信息的机器，信息处理的前提是信息的表示。计算机内信息的表示形式是二进制数字编码。也就是说，各种类型的信息（数值、文字、声音、图像）必须转换成数字量即二进制数字编码的形式，才能在计算机中进行处理。那怕你移动一下鼠标，按一下键盘，你的每一个动作最后到了CPU那也就只剩0和1了，有时觉得设计计算机的人也太厉害了，就两个数字就能弄出这么完美的东西来，这就是智慧的结晶，其实说到底了CPU也就几百条指令而已，在软件和系统的层层迭加下让我们根本就不了解计算机内部是什么样?其实没就是0和1两个状态而已啦.

计算机采用二进制的原因

1. 容易表示

二进制数只有“0”和“1”两个基本符号，易于用两种对立的物理状态表示。例如，可用"1"表示电灯开关的“闭合”状态，用“0”表示“闭合”状态；晶体管的导通表示“1”， 截止表示“0”；电容器的充电和放电、电脉冲的有和无、脉冲极性的正与负、电位的高与低等一切有两种对立稳定状态的器件都可以表示二进制的“0”和“1”。而十进制数有1 0个基本符号（ 0，1，2，..，9 ），要用1 0种状态才能表示，要用电子器件实现起来是很困难的。

2. 运算简单

二进制数的算术运算特别简单，加法和乘法仅各有3条运算规则（ 0+0=0，0+1=1，1+1=1 0和0×0=0，0×1=0，1×1=1 ），运算时不易出错。[其实计算机处理算术运算时都是加法和移位，并没有乘除法，如11B左移一位就成了110B,11B是十进制的3，而110B是6，看看是不是等于乘二，左移乘，右移就除，哈哈，好玩吧]此外，二进制数的“1”和“0”正好可与逻辑值“真”和“假”相对应，这样就为计算机进行逻辑运算提供了方便。算术运算和逻辑运算是计算机的基本运算，采用二进制可以简单方便地进行这两类运算。

进制的转换技巧

虽然二进制有不少优点，但毕竟我们日常生活中用的都是十进制，为了能通用，就有必要把它转换为十进制.至于为什么用八进制和十六进制呢?很简单，就是因为它是2的乘方，2(3)=8,2(4)=16，这样一来就便于二进制的计算和阅读.

对于其它进制转换为十进制比较简单，下面举例说明：在此说明一下，一般常用进制有简写，这样是为了不混淆，如十进制一般在末尾加个字母D[一般习惯都不加]，二进制加个B，八进制Q，十六进制H.

例如：123D、1011B、123Q、AB9H

123D=1×100+2×10+3×1=123 0.11D=1*10(-1)+1*10(-2)

1011B=（1×8+0×4+1×2+1×1）D=11 0.11B=1*2(-1)+1*(-2)

123Q=（1×64+2×8+3×1）D=83 0.11Q=1*8(-1)+1*8(-2)

AB9H=（10×256+11×16+9×1）D=2745 0.11H=1*16(-1)+1*16(-2)

而十进制转换为其它进制就比较难办了哦，但方法是有的，而且不少方法，在此介绍一种比较常用的，便于大家掌握.

十进制转换为二进制技巧

只能举例了，文字说不清的，通常将一个十进制数的整数部分和小数部分分开处理。

1、整数的数制转换；

——采用“基数除法”，具体步骤如下：

（1）将给定的十进制整数除以基数2，余数便是等值的二进制的最低位。

（2）将上一步的商再除以基数2，余数便是等值的二进制数的次低位。

（3）重复步骤2，直到最后所得的商等于0为止。各次除得的余数，便是二进制各位的数，最后一次的余数是最高位

二进制与八进制十六进制转换技巧

二进制从最低位开始每三位转换为十进制即为其对应八进制

高位不足三位，补零

同理二进制从最低位开始每四位转换为十进制即为其对应十六进制

高位不足四位，补零

如（1001100）2=（114）8=（4C）16