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词条 二阶导数
释义

二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数y’=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。

代数记法

二阶导数记作y‘’=d^2y/dx^2即y‘’=(y‘)’。

例如:y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。

几何意义

(1)切线斜率变化的速度

(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)

这里以物理学中的瞬时加速度为例:

根据定义有a=(v'-v)/Δt=Δv/Δt

可如果加速度并不是恒定的 某点的加速度表达式就为:

a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)

又因为v=dx/dt 所以就有

a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数

将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数

f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)

f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)

相关补充

二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量,它不像一阶导数那样有明显的几何意义,因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上,它主要表现函数的凹凸性,直观的说,函数是向上突起的,还是向下突起的。

应用

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。

几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。

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更新时间:2025/3/1 16:02:45