什么是对数螺线

定理

构造对数螺线

自然现象

历史

什么是对数螺线

对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在科学家的假想中。

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

ρ=αe^(kφ)

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。

对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。

定理

对数螺线的臂的距离以几何级数递增。

设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与对数螺线的相交的角永远相等（故又名等角螺线），而此值为 cot-1 ln b。

设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与对数螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan-1 ln b，名为“倾斜度”

对数螺线是自我相似的；这即是说，对数螺线经放大后可与原图完全相同。

对数螺线的渐屈线和垂足线都是对数螺线。

从原点到对数螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿对数螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。

构造对数螺线

在复平面上定义一个复数 z = a + bi，其中 a, b ≠ 0，那么连结 z、z^2、z^3…… 的曲线就是一条对数螺线。

若 L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数 e^z 会将这些直线映像到以 0 为中心的对数螺线。

使用黄金矩形：

自然现象

鹦鹉螺的贝壳像对数螺线

菊的种子排列成对数螺线

鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物

昆虫以对数螺线的方式接近光源

蜘蛛网的构造与对数螺线相似

旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。

低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像对数螺线

历史

对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。