（1）基本概念：

在电子学中的Einstein关系，是联系着带电粒子的迁移率μ与扩散系数D之间的一个重要关系。

迁移率是表征带电粒子在电场作用下加速运动快慢的一个物理量，等于单位电场作用下、沿着电场方向的平均漂移速度，单位是[cm/V-s]；由于粒子的平均漂移速度是定向运动，所以它总是小于混乱的热运动速度。对于半导体中的载流子，室温下的热运动速度大约为107cm/s。

扩散系数D是表征带电粒子在浓度梯度驱动下、从高浓度处往低浓度处运动快慢的一个物理量，等于单位浓度梯度作用下的粒子流密度，单位为[cm2/s]。

因为载流子的迁移率和扩散系数都是表征载流子运动快慢的物理量，它们都与散射有关，所以对于同一种粒子而言，其迁移率和扩散系数之间必然存在有正比的关系——Einstein关系。

当然，对于半导体中的载流子，它们的漂移和扩散之间，也必将满足Einstein关系。

（2）一般的推导：

考虑半导体中一维运动的导带电子。

当存在电场E和浓度梯度dn/dx时，产生的电流密度为：Jn=qμn n E + qDn (dn/dx)。

在热平衡时，Jn=0，则有：μn = -( qDn/nE) (dn/dx)。

而电场可用势能梯度表示为：E = (1/q)(dEc/dx)。

又，热平衡时的电子浓度n与Fermi能级相对于导带底的位置有关，即n是能量差(Ef-Ec)的函数。从而可以得到：μn = qDn [d(ln n)/dEf]。

这是广义的Einstein关系，可用于简并半导体。

对于非简并半导体，因为热平衡时的电子浓度为：n = Nc exp[-(Ec-Ef)/kT]。

则可得到非简并情况下的Einstein关系，为：μn = [q/(kT)] Dn， Dn = (kT/ q) μn。

在室温下，扩散系数（cm2/s）将约为迁移率的0.026倍。当然，这种Einstein关系也表明扩散系数与温度的关系与迁移率的相同。

（3）简单的推导：

对于半导体中有效质量为m*的经典自由载流子，在温度T时的热运动能量为：(1/2)m*vth2=(1/2)kT，

则 vth2 = kT/m*。 若载流子的平均自由程和平均自由时间分别为l和t，于是扩散系数可给出为：

D = vth l = vth2t = kTt/m*。

代入 m = qt/m*，就得到Einstein关系：D = (kT/q)m

当然，这种Einstein关系仅适用于非简并半导体。

（4）载流子扩散系数的温度关系：

注意：载流子的扩散系数不同于杂质原子的扩散系数。在半导体工艺中杂质原子的扩散因为关系着晶格热缺陷的形成，故与温度的系数很大——指数函数关系。但是载流子的扩散完全是在浓度梯度驱动下、在热运动基础之上的一种定向运动（从高浓度处往低浓度处运动），当然与温度有关，不过与温度的关系较小；根据Einstein关系可见，载流子的扩散系数的温度关系在很大程度上决定于载流子迁移率的温度关系。在室温下、当声学波散射起主要作用时，μ随着温度的升高而作3/2式地下降，这时D则与温度有平方根的反比关系（即D∝1/√T）。

载流子的扩散系数与掺杂浓度的关系也可按照与温度的关系来进行分析。即基本上也是决定于载流子迁移率的掺杂浓度关系。