与列表相关联的概念(1. 分类变量 2. 列联表)

独立性检验的基本思想(独立性检验的必要性 独立性检验的原理及步骤 独立性检验的案例展示)

英文名：test for independence

统计学的一种检验方式。与适合性检验同属于X2检验（即卡方检验，英文名：chi square test）

它是根据次数资料判断两类因子彼此相关或相互独立的假设检验。

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为：

　y1　y2　总计

x1　a　b　a+b

x2　c　d　c+d

总计　a+c　b+d　a+b+c+d若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方）

K^2 = n (ad - bc) ^ 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]　其中n=a+b+c+d为样本容量

K^2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。

当表中数据a，b，c，d都不小于5时，可以查阅下表来确定结论“X与Y有关系”的可信程度：

P(K^2≥k)　0.50　0.40　0.25　0.15　0.10

k　0.455　0.708　1.323　2.072　2.706

P(K^2≥k)　0.05　0.025　0.010　0.005　0.001

k　3.841　5.024　6.635　7.879　10.828例如，当“X与Y有关系”的K^2变量的值为6.109，根据表格，因为5.024≤6.109<6.635，所以“X与Y有关系”成立的概率为1-0.025=0.975，即97.5%。

与列表相关联的概念

1. 分类变量

其不同“值”表示相应对象所属的不同类别的变量，分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示相应对象所属的类别，如性别变量只取男、女两个“值”，某商品的等级变量只取一级、二级、三级三个“值”，等等。分类变量的取“值”有时可用数字来表示，但这时的数字除了类别以外，没有其他的含义.如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”？

2. 列联表

分类变量的统计汇总表（频数表）.在独立性检验中，一般只研究两个分类变量，且每个分类变量只有两个可取的值；这时得到的列联表称为2×2列联表，如后面的案例中的关于患肺癌与否与吸烟与否的列联表.?

独立性检验的基本思想

独立性检验的必要性

独立性检验的学习目标：了解独立性检验的基本思想

独立性检验的学习重点：会对两个分类变量进行独立性检验

即为什么不能只凭列联表中的数据和由其绘出的图形下结论, 由列联表可以粗略地估计出两个变量（两类对象）是否有关(即粗略地进行独立性检验)，但2×2列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体.关于这一点，在后面的案例中还要进一步说明.

独立性检验的原理及步骤

独立性检验是一种假设检验（先假设，再推翻假设）,它的原理及步骤与反证法类似.

反证法假设检验

要证明结论A想说明假设H1（两个分类变量，即两类对象有关）成立

在A不成立的前提下进行推理

在H1不成立，即H0（两类对象无关，即相互独立）成立的条件下进行推理，

推出矛盾，意味着结论A成立，

推出小概率事件（概率不超过α，α一般为0.001,0.01,0.05或0.1）发生，意味着H1成立的可能性很大（可能性为1-α），

没有找到矛盾，意味着不能确定A成立，

没有推出小概率事件发生，意味着不能确定H1成立。

独立性检验的案例展示

案例 某医疗机构为了了解患肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9 965个成年人，其中吸烟者2 148人，不吸烟者7 817人，调查结果是：吸烟的2 148人中49人患肺癌,2 099人不患肺癌；不吸烟的7 817人中42人患肺癌,7 775人不患肺癌.

根据这些数据能否断定：患肺癌与吸烟有关？

方法一 由样本数据，可得如下列联表和条形图：

不患肺癌

患肺癌总计

不吸烟7 775427 817

吸烟2 099492 148

总计9 874919 965

在不吸烟者中，患肺癌的比重是0.54%;在吸烟者中，患肺癌的比重是 2.28% .

说明吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在较大的差异，吸烟者患肺癌的可能性大.可初步判断：患肺癌与吸烟有关.

方法二 以上通过对数据和图表的分析，得到的结论是：患肺癌与吸烟有关.

但这个结论在多大程度上适用于总体呢？要回答这个问题，就必须借助于独立性检验的方法来分析.

独立性检验是检验两个分类变量是否有关（否是相互独立）的一种统计方法：

用字母表示题设数据（使之更有一般性），可得如下2×2列联表

不患肺癌患肺癌合计

不吸烟aba+b

吸烟cdc+d

合计a+cb+da+b+c+d

设样本容量为n，则n=a+b+c+d.?

想说明假设H1“患肺癌与吸烟有关”成立.

假设H0:H1不成立，即患肺癌与吸烟没有关系.

在H0成立的条件下，吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即aa+b≈c；c+d； a(c+d)≈c(a+b)； ad-bc≈0.

因此|ad-bc|越小,则说明患肺癌与吸烟之间的关系越弱.

构造统计量k2=n(ad-bc)^2/{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

作为检验在多大程度上可认为“两个分类变量有关系”的标准.

若H0成立,则k2应该很小.实际上,统计学家们已经估算出如下概率:

P(k2>k0)0.500.400.250.150.10

k0.4550.7081.3232.0722.706

P(k2>k0)0.050.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

这就是独立性检验的临界值表.?

回到本案例，把题设数据代入公式，可得

k2=9 965(7 775×49-42×2 099)^2/{7 817×2 148×9 874×91}≈56.632.

在H0成立的情况下，P(k2≥56.632)<0.001，

即k2的值大于10.828的概率非常小（只有0.1%）.

但这个小概率事件竟然发生了。

因此,我们有99.9%以上的把握认为“患肺癌与吸烟有关”.

总结 独立性检验的解题步骤如下：

第一步 提出假设H0：患肺癌与吸烟没有关系.（目标结论H?1“患肺癌与吸烟有关系”的反面.）

第二步 计算独立性检验的标准，即统计量k2=n(ad-bc)^2/{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}的值.（它越小，原假设H?0成立的可能性越大；它越大，目标结论H?1成立的可能性越大.）

第三步 由独立性检验的临界值表得出结论及其可信度（即在多大程度上适用）.