定点数：拼音：dìng diǎn shù 计算机中采用的一种数的表示方法。参与运算的数的小数点位置固定不变。

1.1 无符号数的表示

1.2 带符号数的表示

(1) 定点整数

(2) 定点小数

(3) 原码表示

(4) 补码表示

(5) 反码表示

(6) 移码

定点数与浮点数的比较

1.1 无符号数的表示

指整个机器字长的全部二进制位均表示数值位，相当于数的绝对值。若机器字长为n+1位，则数值表示为：

X=X0X1X2...Xn 其中Xi={0,1}, 0<=i<=n 即X0*2^n + X1*2^(n-1) + X2*2^(n-2) + ... + Xn-1*2 + Xn

数值范围是 0≤X≤2^(n+1) - 1

例如：1111表示15。

1.2 带符号数的表示

最高位被用来表示符号位，而不再表示数值位。

例如：1111 是 -7

(1) 定点整数

小数点位固定在最后一位之后称为定点整数。若机器字长为n+1位，数值表示为：

X=X0X1X2...Xn，其中Xi={0,1},0≤i≤n 即(-1)^X0 * (X1*2^(n-1) + X2*2^(n-2) + ... + Xn-1*2 + Xn)

数值范围是 -(2^n-1)≤X≤2^n-1

例如：1111表示-7。

(2) 定点小数

小数点固定在最高位之后称为定点小数。若机器字长为n+1位，数值表示为：

X=X0.X1X2...Xn，其中Xi={0,1},0≤i≤n (这里X0不表示数字，只表示符号，若X0=0，则代表X=0.X1X2...Xn，X0=1，则代表-0.X1X2...Xn)。

即 (-1)^X0 * (X1*2^(-1)) + X2*2^(-2) + ... + Xn-1*2^(-n+1) + Xn*2^(-n)

数值范围是 -(1-2^(-n))≤X≤1-2^(-n)

例如：1111表示-0.875

（定点小数也被用在浮点数的尾数(Mantissa)部分）

(3) 原码表示

原码是用机器数的最高一位代表符号，以下给位给出数值绝对值的表示方法。其定义为：

整数：

[X]原=X (0≤ x<2^n)

[X]原=2^n-X (-2^n<X≤0)

小数：

[X]原=X (0≤X<1)

[X]原=1-X (-1<X≤0)

这里X是数的实际值（真值），[X]原为原码表示的机器数。

例如：真值X=+1001，[X]原=01001；真值X=-1001，[X]原=10000-(-1001)=11001；真值X=-0.1001，[X]原=1-(-0.1001)=1.1001。

原码的性质：

1. 符号位+数的绝对值。

2. 0有两个编码。

3. 加减运算规则复杂，乘除运算规则简单。

4. 表示简单，易于和真值之间进行转换。

原码的运算：

加法：

先判断符号位，若相同，绝对值相加，结果符号位不变；若不同，绝对值大的数减去绝对值小的数，符号位和绝对值大的数相同。

[X]原=00010，[Y]原=01010，X+Y=00000+1010+0010=01100；[X]原=10010，[Y]原=01010，X+Y=00000+1010-10=01000。

减法：

将减数符号取反，然后将被减数和符号取反的减数相加。

[X]原=10010，[Y]原=01010，X-Y=10010+11010=10000+0010+1010=11100。

乘法(原码一位乘)：

是模拟竖式手算的方法。引入一个值为部分积(初值为0)。符号位是被乘数和乘数符号位的异或值。之后检视乘数(符号位以外)从低向高的每一位，若为1，部分积(对齐最高位)加被乘数(符号位以外)，并右移一位；若为0，部分积加0，右移一位。

例如：[X]原=11101，[Y]原=01011。X*Y:符号位S=1⊕0=1

则X*Y=110001111。

除法(交替加减法)：符号位为被除数和除数符号位异或获得。之后被除数减除数(补码表示)，当余数为正时，商“1”，余数左移一位减除数；当余数为负时，商“0”，余数左移一位，加除数。

例如：[X]原 = 0.1001，[Y]补= 0.1011，X/Y：

余数r0<0，商0

商0，r和q左移一位

加y

余数r1>0，商1

商1，r和q左移一位

减y

余数r2>0，商1

商1，r和q左移一位

减y

余数r3<0，商0

商0，r和q左移一位

加y

余数r4>0，商1

X/Y 的商 [Q]原 = 0.1101，余数[R]原 = 0.0001。

(4) 补码表示

补码定义为：

整数：

[X]补=X (0≤X<2^n)

[x]补=2^(n+1)+X (-2^n<X≤0 mod 2^(n+1)(意味相对与2^(n+1)做补))

小数：

[X]补=X (0≤X<1)

[x]补=2+X (-1<X≤0 mod 2(意味相对与2做补))

例如：真值X=+1001，[X]补=01001；真值X=-1001，[X]补=100000+(-1001)=100000-1001=10111;真值X=-0.1001，[X]补=2+(-0.1001)=10-0.1001=1.0111。

补码的性质：

1. 机器数和真值的关系为： [X]补=2*符号位+X

2. [X]补和真值的关系：X=[X]补 - 2*X0=X0.X1X2...Xn - 2*X0=-X0 + 0.X1X2...Xn

3. 0有唯一的编码。

4. 两数补码加法，把符号位和数值位等同处理，结果的符号位与数值位都正确。

5. 补码数的算数移位

把[X]补的符号位和数值位一起右移一位并保持原符号位的值不变，可用来实现除法功能（除以2）。

变形补码，又称模4补码，把普通补码由模2改为模4，其中双符号位00代表正，11代表负，01上溢，10下溢。

(5) 反码表示

反码是用机器数的最高位代表符号，数值位是对负数各位取反的表示方法，定义为：

整数：

[X]反=X (0≤X<2^n)

[X]反=(2^(n+1)-1)+X (-2^n<X≤0 mod (2^(n+1)-1))

小数：

[X]反=X (0≤X<1)

[X]反=(2-2^(-n))+X (-1<X≤0 mod (2-2^(-n)))

例如：真值X=+1001，[X]反=01001；真值X=-1001，[X]反=10110;真值X=-0.1001，[X]反=1.0110。

反码的性质：

0有2个编码。

现在计算机中，较少使用反码。

(6) 移码

移码定位为：

[X]移=2^n+X (-2^(-n)≤X<2^n)

当真值用补码表示时，由于符号位和数值部分一起编码，与习惯上的表示法不同，因此人们很难从补码的形式上直接判断其真值的大小。

十进制数X=31，对应的二进制数为+11111，则[X]补=011111；十进制数X=-31，对应的二进制数为-11111，则[X]补=100001，看上去好像100001>011111，其实正好相反。如果我们对每个真值加上一个2^n，X=11111加上2^5可得11111+100000=111111；X=-11111加上2^5可得-11111+100000=000001,这样就可以直接通过二进制代码比较大小。

移码的性质：

1. 最高位为符号位。

2. 0有唯一编码。

3. 保持了数据原有的大小顺序。

4. 移码只用于浮点数的阶码部分，故只用于表示整数。

定点数与浮点数的比较

数值的表示范围 ：定点表示法所能表示的数值范围将远远大于浮点表示法 。

精度 ：对于字长相同的定点数与浮点数来说，定点数虽然扩大了数的表示范围，但这是以降低精度为代价的，也就是数轴上各点的排列更稀疏了 。

数的运算 ：浮点运算要比定点运算复杂 。

溢出处理 ：定点运算时，当运算结果超出数的表示范围，就发生溢出；而在浮点运算时，运算结果超出尾数的表示范围却并不一定溢出，只有当阶码也超出所能表示的范围时，才发生溢出。