点群定义

点群介绍

中文名称：点群

英文名称：point group

术语来源：固体物理学

点群定义

点群

（point group）：在8中对称要素的基础上组成的对称操作群。

在固体物理中，点群与晶类（crystal class）有等同的含义。

点群与两个概念有关：对称要素，对称操作群

对称要素：可以证明，对称要素共有8中。分别是1，2，3，4，6 ，m，i，-4。

n重旋转轴是指：若物体绕某轴转2π/n 及2π/n的整数倍，物体不变，则该轴为物体的n重旋转轴。

n重旋转-反演轴：若物体对某轴作转2π/n 加上中心反演的联合操作，及联合操作的倍数，物体不变，则该轴为物体的n重旋转-反演轴。

旋转轴和旋转-反演轴被称为对称要素。

对称操作群：由物体的对称操作构成的群。

对称操作：物体在正交变换（保持两点间距离不变的几何操作，如旋转，反射）下不变，则该变换为物体的对称操作。

群：数学概念，集合和其上的一种运算构成一个群。群要求满足封闭性，存在单位元素，存在逆元素，满足该运算的结合律

点群介绍

对称性是晶体的一个共性。根据晶体的特征对称元素所进行分类

晶体可分为7大晶系：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、六角（六方）晶系、三角（三方）晶系、立方晶系；

14种布喇菲格子：简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、三角、简单四方、体心四方、六角、简单立方、体心立方、面心立方；

32个晶类（点群）：C1、Ci、C2、Cs、C2h、D2、D2v、D2h、C3、C3i、D3、C3v、D3d、C4、C4h、D4、C4v、D4h、S4、D2d、C6、C6h、D6、C3v、D6h、C3h、D2h、T、Th、Td、O、Oh（这里用 Schoenflies 符号表示，还可以用国际符号表示，请参考相关书目[1]） 。

比如正方体有48个对称操作：

沿着立方轴转π/2,π，3π/2，有3个立方轴，共9种

沿着面对角线转π，有6条面对角线，共6种

沿着体对角线转2π/3，4π/3，有4条体对角线，共8种

不动算1种，共9+6+8+1=24种

这24种转动加上中心反演也有24种，故共48种，记为Oh，其中24种纯转动记为O

有了点群的划分，我们就可以表示任何一种晶体具体的结构对称性。点群的国际符号一般由三位组成，分别表示三个特定方向上的对称元素，不同晶系中三个方向的选取自然不同。如钛酸钡的六方晶系就可表示为6/mmm 。由于很多内容在这里因没有相应的编辑器，叙述不变更多的内容也看可以参考文献[1]。