“笛卡尔乘积”的意思、由来-中文百科全书

名称定义

序偶定义

由两个元素x和y（x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x，y>，其中x是它的

第一元素，y是它的第二元素。

有序对<x，y>；具有以下性质：

1.当x≠y时，<x，y>；≠<y，x>.

2.<x,y>=<u,v>；的充分必要条件是x=u且y=v.

这些性质是二元集{x，y}所不具备的。例如当x≠y时有{x，y}={y，x}。原因在于有序对中的元素是有序的

，而集合中的元素是无序的。

例：已知<x+2,4>=<5,2x+y>；，求x和y。

解：由有序对相等的充要条件有 x+2=5和2x+y=4 联立解得 x=3，y=-2.

笛卡尔积定义

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合

叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.

笛卡尔积的符号化为：

AxB={<x,y>|x∈A∧y∈B}

例如，A={a,b},B={0,1,2},则

AxB={<a,o>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>,}

BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}

笛卡尔积的运算性质

1.对任意集合A，根据定义有

AxΦ =Φ ，Φ xA=Φ

2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即

AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）

3.笛卡尔积运算不满足结合律，即

（AxB)xC≠Ax(BxC）（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)

4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即

Ax(B∪C)=(AxB）∪（AxC)

(B∪C)xA=(BxA）∪（CxA)

Ax(B∩C)=(AxB）∩（AxC)

(B∩C)xA=(BxA）∩（CxA)

推导过程

给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：

D1×D2×…×Dn={（d1，d2，…，dn）|di∈Di，i=1，2，…，n}

所有域的所有取值的一个组合不能重复

案例

给出三个域：

D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 }

D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}

D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏}

则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：

D=D1×D2×D3 =

{（张清玫，计算机专业，李勇），（张清玫，计算机专业，刘晨），

（张清玫，计算机专业，王敏），（张清玫，信息专业，李勇），

（张清玫，信息专业，刘晨），（张清玫，信息专业，王敏），

（刘逸，计算机专业，李勇），（刘逸，计算机专业，刘晨），

（刘逸，计算机专业，王敏），（刘逸，信息专业，李勇），

（刘逸，信息专业，刘晨），（刘逸，信息专业，王敏） }

这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。

本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。

序偶与笛卡尔积

在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。

序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。

设x，y为任意对象，称集合{{x},{x,y}}为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为<x,y>；。称x为<x,y>；的第一分量，称y为第二分量。

定义

3-4.1 对任意序偶<a，b>,<c,d >,<a，b> = <c,d > 当且仅当a=c且b = d。

递归定义n元序组 <a1，…，an>

<a1，a2> ={{a1}，{a1,a2}}

<a1,a2,a3 > = { {a1}，{a1,a2},{a1,a2,a3}}

= < <a1,a2 >,a3 >

<a1，…an> = <<a1，…an-1>,an>

两个n元序组相等

< a1，…an >= < b1，…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)

定义3-4.2 对任意集合 A1，A2，…，An，

（1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积（Cartesian product），定义为

A1 ×A2={x | $u $v(x = <u,v>；∧u ÎA1∧vÎA2)}={<u,v> | u ÎA1∧vÎA2}

（2）递归地定义 A1 × A2× … × An

A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1）×An

例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）&Ccedil；（B×A）。

解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<；β，3〉}

B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}

A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}

B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}

（A×B）&Ccedil；（B×A）=Æ

由例题1可以看到（A×B）&Ccedil；（B×A）=Æ

我们约定若A=&AElig；或B=&AElig；，则A×B=&AElig；。

由笛卡尔定义可知：

（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}

={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}

A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}

由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以

（A×B）×C ≠A×（B×C）

定理3-4.1 设A,B,C为任意集合，*表示 &Egrave；，&Ccedil；或 – 运算，那么有如下结论：

笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即：

A×（B*C)=(A×B)*(A×C)

笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即：

(B*C) ×A=(B×A)*(C×A)

证明

¤ 当*表示 &Egrave；时，结论（1）的证明思路：（讨论叙述法）

先证明A×（B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>；∈A×（BÈC）出发，推出<x,y>；∈（A ×B) È (A×C)

再证明（A×B) È (A×C) Í A×（B È C)

从<x,y>；∈（A×B) È (A×C）出发，推出<x,y>；∈A×（BÈC)

当*表示 &Egrave；时，结论（2）的证明思路：（谓词演算法）见P-103页。¤

定理3-4.2 设A,B,C为任意集合，若C ≠ F，那么有如下结论：

AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤

定理前半部分证明思路：（谓词演算法）

先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)

以AÍB 为条件，从<x,y>；∈A×C出发，推出<x,y>；∈B×C

得出（A×CÍB×C）结论。

再证明（A×C ÍB×C) Þ AÍB

以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用&THORN；附加式，推出x∈B

得出（AÍB）结论。见P-103页。¤

定理

3-4.3 设A,B,C,D为任意四个非空集合，那么有如下结论：

A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C，BÍ D

¤证明思路：（谓词演算法）

先证明充分性：A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D

对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>；∈A×B出发，利用条件A×BÍ C×D， <x,y>；∈C×D，推出x∈C， y∈D。

再证明必要性：AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D

对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>；∈A×B出发，推出<x,y>；∈C×D。

直积

笛卡尔（Cartesian Product）乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

词条	笛卡尔乘积
释义	笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。名称定义(序偶定义笛卡尔积定义推导过程案例) 序偶与笛卡尔积(定义证明定理直积) 名称定义序偶定义由两个元素x和y（x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。有序对<x，y>；具有以下性质： 1.当x≠y时，<x，y>；≠<y，x>. 2.<x,y>=<u,v>；的充分必要条件是x=u且y=v. 这些性质是二元集{x，y}所不具备的。例如当x≠y时有{x，y}={y，x}。原因在于有序对中的元素是有序的，而集合中的元素是无序的。例：已知<x+2,4>=<5,2x+y>；，求x和y。解：由有序对相等的充要条件有 x+2=5和2x+y=4 联立解得 x=3，y=-2. 笛卡尔积定义设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB. 笛卡尔积的符号化为： AxB={<x,y>\|x∈A∧y∈B} 例如，A={a,b},B={0,1,2},则 AxB={<a,o>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>,} BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>} 笛卡尔积的运算性质 1.对任意集合A，根据定义有 AxΦ =Φ ，Φ xA=Φ 2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即 AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时） 3.笛卡尔积运算不满足结合律，即（AxB)xC≠Ax(BxC）（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时) 4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即 Ax(B∪C)=(AxB）∪（AxC) (B∪C)xA=(BxA）∪（CxA) Ax(B∩C)=(AxB）∩（AxC) (B∩C)xA=(BxA）∩（CxA) 推导过程给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为： D1×D2×…×Dn={（d1，d2，…，dn）\|di∈Di，i=1，2，…，n} 所有域的所有取值的一个组合不能重复案例给出三个域： D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 } D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业} D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏} 则D1，D2，D3的笛卡尔积为D： D=D1×D2×D3 = {（张清玫，计算机专业，李勇），（张清玫，计算机专业，刘晨），（张清玫，计算机专业，王敏），（张清玫，信息专业，李勇），（张清玫，信息专业，刘晨），（张清玫，信息专业，王敏），（刘逸，计算机专业，李勇），（刘逸，计算机专业，刘晨），（刘逸，计算机专业，王敏），（刘逸，信息专业，李勇），（刘逸，信息专业，刘晨），（刘逸，信息专业，王敏） } 这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。序偶与笛卡尔积在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。设x，y为任意对象，称集合{{x},{x,y}}为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为<x,y>；。称x为<x,y>；的第一分量，称y为第二分量。定义 3-4.1 对任意序偶<a，b>,<c,d >,<a，b> = <c,d > 当且仅当a=c且b = d。递归定义n元序组 <a1，…，an> <a1，a2> ={{a1}，{a1,a2}} <a1,a2,a3 > = { {a1}，{a1,a2},{a1,a2,a3}} = < <a1,a2 >,a3 > <a1，…an> = <<a1，…an-1>,an> 两个n元序组相等 < a1，…an >= < b1，…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn) 定义3-4.2 对任意集合 A1，A2，…，An，（1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积（Cartesian product），定义为 A1 ×A2={x \| $u $v(x = <u,v>；∧u ÎA1∧vÎA2)}={<u,v> \| u ÎA1∧vÎA2} （2）递归地定义 A1 × A2× … × An A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1）×An 例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）&Ccedil；（B×A）。解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<；β，3〉} B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉} A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉} B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉} （A×B）&Ccedil；（B×A）=Æ 由例题1可以看到（A×B）&Ccedil；（B×A）=Æ 我们约定若A=&AElig；或B=&AElig；，则A×B=&AElig；。由笛卡尔定义可知：（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉\|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）} ={〈a，b，c〉\|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）} A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉\|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）} 由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以（A×B）×C ≠A×（B×C）定理3-4.1 设A,B,C为任意集合，表示 &Egrave；，&Ccedil；或 – 运算，那么有如下结论：笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即： A×（BC)=(A×B)(A×C) 笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即： (BC) ×A=(B×A)(C×A) 证明 ¤ 当表示 &Egrave；时，结论（1）的证明思路：（讨论叙述法）先证明A×（B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>；∈A×（BÈC）出发，推出<x,y>；∈（A ×B) È (A×C) 再证明（A×B) È (A×C) Í A×（B È C) 从<x,y>；∈（A×B) È (A×C）出发，推出<x,y>；∈A×（BÈC) 当*表示 &Egrave；时，结论（2）的证明思路：（谓词演算法）见P-103页。¤ 定理3-4.2 设A,B,C为任意集合，若C ≠ F，那么有如下结论： AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤ 定理前半部分证明思路：（谓词演算法）先证明AÍB Þ (A×CÍB×C) 以AÍB 为条件，从<x,y>；∈A×C出发，推出<x,y>；∈B×C 得出（A×CÍB×C）结论。再证明（A×C ÍB×C) Þ AÍB 以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用&THORN；附加式，推出x∈B 得出（AÍB）结论。见P-103页。¤ 定理 3-4.3 设A,B,C,D为任意四个非空集合，那么有如下结论： A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C，BÍ D ¤证明思路：（谓词演算法）先证明充分性：A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D 对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>；∈A×B出发，利用条件A×BÍ C×D， <x,y>；∈C×D，推出x∈C， y∈D。再证明必要性：AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D 对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>；∈A×B出发，推出<x,y>；∈C×D。直积笛卡尔（Cartesian Product）乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）\|x∈A且y∈B}。
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