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悖数学是一种崭新的、属于集合论范畴，但却是集合论中的悖论的数学形式。它以前有罗素、康托尔等人分别发现和提出过几个孤立的集合论的悖论例子，但还没人对这一现象作出过专门、系统的数学论述。

这种可以用现有的集合理论去涵盖，去解释，但还不能严格、系统地去计算的集合现象，被称为悖数现象（也可称为悖集现象）。

它的内涵是这样的：

悖：违背，违反，谬误，遮蔽等意。

悖数就是违反一般数学规律（如实数运算规律），违反逻辑规则或公式的推理，容易产生混乱，与目前人们普遍的认识相冲突的一种数学现象。

它们既矛盾又符合生活真实、自然真实，既不合常理，又是客观规律和存在。

研究这样一种以数学和逻辑学中矛盾命题为对象的特异数学，称之为悖数学。

悖数与实数有互逆的关系。

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悖数是一种未为人们所认识和研究的数学现象，它可以对一些实例进行数学运算，或提供一种数学工

具，如百科名片所述，它系违反一般数学规律，违反逻辑规则或公式的推理，容易产生混乱，与目前人们

普遍认识相冲突的一种数学现象。

记号

这里我们先设置和采用一些在悖数运算中会用上的记号。其中“Bei∮”是表示悖数的符号，“Bei∮(A)”和Bei∮(B)是悖数，⊥为背反关系符号，↑为结果增大或升级的符号、↓为结果缩小的符号、/为两种可能出现的结果并列符号，♀表示两种情况同时存在符号，♂表示集的独立存在。 首发论文 中国徐智敏：《悖数学初步（副题：一种以悖论问题为研究对象的新数学形式的探讨》。论文内容——主要定义和一般性定理命题一 因果关系出现悖逆，违反一般数学规律和逻辑规则的数学称为悖数。举例一：在语文文字中有“他”和“她”两字分别代表人类“男性”和“女性”，用集合字母代表就分别是集合A和集合B，A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜。在独立指称男性，或混合指称男女性的时候，用“他”可以专门指称男性，也可以同时指称男女性，即集A既等于﹛a1，a2，a3，…an﹜，也等于﹛a1，a2，a3，…an﹜+﹛b1，b2，b3，…bn﹜。也就是说，集合A和集合B在这里有交和并的关系。举例二：人类作为一个实体，显然可以属于动物而不能属于微生物或植物。人和动物都能自主行走、奔跑（微生物情况接近），而植物不能。也就是说，人类可以是动物的子集，而不能是微生物或植物的子集。但同时人类又可以独立于动物而自成一集，与动物完全隔绝开来。因为抽象思维和语言以及劳动能力使人类成为一种与其他动物完全迥异的生物，那差别至少与动物、微生物和植物的差别一样大。在这种情况下，人类、动物、微生物和植物四者之间就都是互不相属的，谁也不是谁的子集，而全是“生物”这种集合的子集。定义一 悖数前一部分的总和既可以包括后一部分的总和，也可以让后一部分的总和继续独立。前后两部分相加后集合数一样。定理一 有集A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，集B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜，A=A+B和A=A+B♂（为了将前后两部分区分清楚，总和的“A”该加引号或用粗体）。即实际上已是A=A+B和A=A+B♂，集A=﹛a1，a2，a3，…an﹜+﹛b1，b2，b3，…bn﹜。在这里我们可以看见，某一子集会在特殊情况下转化、升级为总集，囊括其他子集。命题二 悖数能升级为总集的子集称为特异集。定义二 有悖数子集A和子集B，两者不能相交，但子集A可与子集B相并后成总集A。定理二 有集A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，集B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜，A=A，A≠B，但A=A+B。为了更好地表明集A具有升级的特性，可将其和其他子集合列成A={A；A+B升级后的A用粗体表明它已升级的性质，则A=↑{A；A+B在这里↑号表示可增大和升级的性质。命题三 悖数前一部分集与后一部分集分别独立，在同一总集下，没有交和并的情况。举例三 在独立指称男性，或混合指称男女性的时候，用“他”可以专门指称男性，也可以同时指称男女性，但在另外的情况下，女性集与男性集又出现不能交和并的情况。即女性子集不混合任何男性子集而独立指称时为“她”，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜。也就是说，女性集B与男性集A在这种状态下是既不能交，更不能并的。同样，人类、动物、微生物和植物四者之间也存在这样的情况。定义三 悖数子集A和子集B同属总集A，A∩B=φ；A∪B=φ。定理三 有集A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，集B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜，A≠B；A={A；A+B，则A∩B=φ；A∪B=φ。在上边的举例三中，如果生物用S代表，人类、动物、微生物和植物四者分别用A、B、C、D代表的话，用公式表示就分别是：S=A+B+C+D，A∩B∩C∩D=φ。从上边“他（A）”和“她（B）”、人类（B）和动物（A）的关系里，我们可以看到，B集既可以完全和A集并，又可以完全不和A集并，即使该集中全部是同一子集也如此。这就出现了矛盾的情况，用现有的集合理论无法对它进行圆满的解释和运算，只能创立新概念和新规定，才能使它纳入集合论的范畴。出现这种情况时，可以将它定义为子集B属于集合A，但可以独立（出现完全不属于集合A的情况）。这种独立关系用符号“♂”代表。将两者的从属关系连系在一起用字母表示就是集合A⊂B♂。当我们要对同类问题的多项进行数学运算时，为了能清楚表明它是悖数式，而不是一般的实数式，加进悖数符号变成公式：Bei∮（A1）+Bei∮（A2）+Bei∮（B1♂）+Bei∮（B2♂）= Bei∮（A1+A2）+Bei∮（B1♂+B2♂）。其结果，前一部分的总和仍然既可以包括后一部分的总和，也可以让其总和继续独立。定理四 有写成悖数为Bei∮（A）的集合A和 属于集合A，但可以独立的子集B之集合Bei∮（B♂）。它们的关系有Bei∮（A）+Bei∮（B♂）=Bei∮（A+B♂），或者Bei∮（A1）+Bei∮（A2）+Bei∮（B1♂）+Bei∮（B2♂）= Bei∮（A1+A2）+Bei∮（B1♂+B2♂）= Bei∮[A1+A2+（B1♂）+（B2♂）]。证 设有Bei∮（A）和Bei∮（B♂），A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜及A=﹛a1，a2，a3，…an+b1，b2，b3，…bn﹜。当它们相加时，有Bei∮（A）+Bei∮（B♂）=Bei∮（A+B♂），即出现两种悖谬的结果。若A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜时，Bei∮（A）+Bei∮（B♂）= Bei∮（a1，a2，a3，…an+b1，b2，b3，…bn）；若A=﹛a1，a2，a3，…an+b1，b2，b3，…bn﹜，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜时，Bei∮（A）+Bei∮（B♂）=Bei∮（a1，a2，a3，…an+ b1，b2，b3，…bn）。其结果，同是两项相加时，重复数消去，集合数是一样的。