历史

组团空间元素(元素固定点 传送 滑翔机 螺旋轴)

组团空间示法

表三维组团空间

在晶体学，空间群（或晶体组或费奥多罗夫集团）晶体是一种晶体的对称性描述，可以有230个类型之一。在数学中空间群进行了研究，他们在不到3有时被称为比贝尔巴赫组尺寸等，并且是一个面向欧氏空间的等距离散cocompact组。对于一个权威来源的三维空间群为国际晶体学表（哈恩（2002））。

历史

在3维空间组第一枚举费奥多罗夫（1891年），并进行了独立不久的巴洛（1894）和Schönflies（1891）列举。这些第一枚举所有包含的几个小错误，空间群为230正确的列表是在费奥多罗夫和Schönflies之间找到对应。

在2维空间的17个团体壁纸已经几百年知名团体。

组团空间元素

在三维的空间群是由32个与14个复式晶格晶体学点群属于7格系统的组合。在一个空间的一些细胞一个单位晶格平移对称性中心联合组包括这样的结果，点组反映，旋转和旋转对称操作不当（也称为rotoinversion）和螺旋轴对称操作和滑翔机。所有这些对称操作在230独特的描述所有可能的空间群的晶体对称性的总体结果组合。

元素固定点

空间组的元素固定的空间点是旋转，反射，单位元，和不适当的轮换。

传送

传送形成了3级正常交换子群，称为复式晶格。有14种布拉维点阵可能类型。该组由空间商是一个复式晶格有限集团，是32个点的群体之一。

滑翔机

滑翔机是在一个平面上的反映，通过翻译与该平面平行其次。这是指出按A，B或C，这取决于沿轴的滑动。还有的N滑行，这是一个滑翔沿一个面对角线的一半，而D滑行，这是第四次的方式，无论是沿面或空间晶胞对角线。后者被称为钻石飞机滑行，因为它在金刚石结构特征。

螺旋轴

一个螺旋轴是绕轴旋转，由沿轴方向的平移之后。这是一个数字指出，氮，来描述旋转，那里的号码是多少行动必须适用于完成一个完整的旋转（如3将意味着一个围绕旋转轴每次三分之一的方式之一）学位。翻译的程度，然后添加作为下标显示多远沿轴的翻译，作为平行晶格向量部分。所以，21是一种双重的旋转了1 / 2的晶格向量翻译跟着。

组团空间示法

至少有八组的命名空间的方法。这些方法有的可以分配多个不同的名称相同的空间群，所以总共有成千上万的不同的名字。

·号码。国际晶体学联合会的出版集团的所有类型的表空间，并赋予每一个唯一的编号从1到230。该编号是任意的，除了具有相同晶系或点组，给予连续的数字组。

·国际符号或赫尔曼Mauguin符号。赫尔曼- Mauguin（或国际）符号描述了晶格及一些发电机组。它有一个缩短的形式被称为国际短片的象征，这是一个最常用的晶体使用，通常是四组符号组成。首先介绍了复式晶格（磷，甲，乙，丙，我，R或F）的中心。接下来的三个描述最突出的对称操作时可以看到沿晶体的高对称方向之一预测。这些符号中所用的点群与滑翔飞机和螺旋轴，上述此外，同样的。通过举例的方式，石英空间群为P3121，表明它表现出原始的主题为中心（即每一次单元格），有三重螺旋轴和双重旋转轴。请注意，它并没有明确包含晶系，虽然这是唯一的每一个空间组（在P3121的情况下，它是三角）。

在国际短期第一个符号象征（在本例31）表示沿主要轴线对称（中c -轴三角例），第二（在这种情况下，2）沿次要轴（A和B）和第三个符号，在另一个方向的对称性。在三方的情况，还存在一个空间群P3112。在这个空间的双重轴集团不沿a和b -轴的方向，但在一个30度旋转。

国际符号和一些国际组织的空间短暂的象征是1935年和2002年之间的变化不大，有几个不同的空间群有4个在使用国际符号。

·霍尔符号。空间一组明确的原产地标记。旋转，平移和坐标轴方向是明确分开的符号和反演中心的明确定义。的建设和符号格式使其特别适合于计算机的对称信息的产生。例如，组3号馆有三个标志：对2Y边界性（P 1 2 1），磷2（p 1的1 2），磷2倍性（P 2 1 1）。

·Schönflies符号。给定的空间点群组编号1，2，3，... （在同一顺序的国际号码），并且这个数字还在增加一条，作为一个到该点群Schönflies标志标。例如，3至5组号码的点群为C2有Schönflies符号C12，C22，C32。

二维：Orbifold符号和三维：Fibrifold符号。正如其名称所暗示的，orbifold符号描述orbifold，由欧氏空间，空间群商给予，而不是发电机组的空间。它是由康威和瑟斯顿，并没有使用备受外界数学。一些团体的空间有几个不同的关联到他们fibrifolds，所以有几个不同的fibrifold符号。

表三维组团空间

晶系　点群　#　Space groups (international short symbol)

Hermann-
Mauguin　Schönflies

三斜晶系(2)　1　C1　1　P1

1　Ci　2　P1

单斜晶系(13)　2　C2　40242　P2, P21, C2

m　Cs　40338　Pm, Pc, Cm, Cc

2/m　C2h　40466　P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c

斜方晶系(58)　222　D2　16-24　P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121

mm2　C2v　25-46　Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2

mmm　D2h　47-74　Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn,Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca,Imma

四角形(68)　4　C4　75-80　P4, P41, P42, P43, I4, I41

4　S4　81-82　P4, I4

4/m　C4h　83-88　P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a

422　D4　89-98　P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122

4mm　C4v　99-110　P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd

42m　D2d　111-122　P42m, P42c, P421m, P421c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2, I4m2, I4c2, I42m, I42d

4/mmm　D4h　123-142　P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd

三角形(25)　3　C3　143-146　P3, P31, P32, R3

3　S6　147-148　P3, R3

32　D3　149-155　P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32

3m　C3v　156-161　P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c

3m　D3d　162-167　P31m, P31c, P3m1, P3c1, R3m, R3c,

六角形(27)　6　C6　168-173　P6, P61, P65, P62, P64, P63

6　C3h　174　P6

6/m　C6h　175-176　P6/m, P63/m

622　D6　177-182　P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322

6mm　C6v　183-186　P6mm, P6cc, P63cm, P63mc

6m2　D3h　187-190　P6m2, P6c2, P62m, P62c

6/mmm　D6h　191-194　P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc

立方体的(36)　23　T　195-199　P23, F23, I23, P213, I213

m3　Th　200-206　Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3

432　O　207-214　P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132

43m　Td　215-220　P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d

m3m　Oh　221-230　Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3d