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词条 导函数
释义

定义

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导,则称f(x)在(a,b)上可导,则可建立f(x)的导函数,简称导数,记为如果f(x)在(a,b)内可导,且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在,则称f(x)在闭区间[a,b]上可导,f'(x)为区间[a,b]上的导函数,简称导数。

基本函数的导函数

C'=0(C为常数)

(x^n)'=nx^(n-1) (n∈N+)

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(e^x)'=e^x

(a^x)'=(a^x)*lna(a>0且a≠1)

[logax)]' = 1/(x*logae)(a>0且a≠1)

[lnx]'= 1/x

和差积商函数的导函数

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]

复合函数的导函数

设 y=u(t) ,t=v(x),则 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)

例 :y = t^2 ,t = sinx ,则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x一般定义

设函数在点x。的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点x。处的导数,记为,即

也可记作f′(x)〡x=x.,或f′(x.)

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数f(x)在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着f(x)的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数f(x)的导函数,记作:y'或者f′(x)

导函数的定义表达式为:

值得注意的是,导数是一个数,是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点。

几何意义

如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点。当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线。

若曲线为一函数y = f(x)的图像,那么割线PP0的斜率为:

P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为:

上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'(x0) = tanα,故导数的几何意义即曲线y = f(x)在点P0(x0,f(x0))处切线的斜率。

函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件(极限存在,它的左右极限存在且相等)推导而来:

上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数:

左导数:

右导数:

导数与函数的单调性

一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间y'>0,那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数:如果在这个区间y'<0,那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数;如果在这个区间y'=0,那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数

导数与极值

一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点:

1.极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

2.函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

3.极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。

4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

5.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 f'(x) =0。但反过来不一定。如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。 若x0满足 =0,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值。

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更新时间:2024/12/23 14:39:21