词条 | 单位阶跃函数 |
释义 | 定义单位阶跃函数目前有三种定义,共同之处是自变量取值大于0时,函数值为1, 自变量取值小于0时,函数值为0,不同之处是,自变量为0时函数值各不相同。 第一种定义:自变量为0时函数值不确定或不定义,见北京大学吴崇试的数学物理方法第二版117页9.4式,南京大学梁昆淼数学物理方法第四版83页5.3.6式,陕西理工学院龙姝明数学物理方法& Mathematica79页5.41式) 第二种定义:自变量为0时函数值为1/2,见吴大正信号与线性系统分析第四版13页1.4-3式 第三种定义:自变量为0时,函数值为1。见吴大正信号与线性系统分析第四版102页3.2-4式关于单位阶跃序列的讨论。 从傅里叶积分变换角度看,第二种定义来得更自然,它正好可以用“符号函数与1之和”再除2来定义,而且计算逆傅里叶变换时我们必须用到这个定义。 如果考虑半域问题,例如Laplace积分变换,即可以采用第一种定义,也可以采用第三种定义。 物理意义从物理角度讲,引入单位阶跃函数一是为了解决单位冲激函数(狄拉克Delta函数)的积分;二是系统在输入信号激励下的响应问题中,为了区分信号加入系统前后两个时点。信号加入系统开始起作用的时点称为“0时刻”后沿,记为0+,t=0+,就是t>0;输入信号要加而未加入的时点称为0时刻前沿,记为0-,t=0-,就是t<0。因而物理上一般不介入(0- ,0+)时区,因为这个时区内说不清输入信号到底加入系统了没有,实际上这个时区的宽度也不定,数学上可以认为它趋于0。于是单位阶跃函数在自变量为0处,即(0-,0+)区间上的值不予定义。这就是物理上采用第一种定义的缘故。 卷积性质f(t)*u(t)=1/D[f(t)](D为微分算子)这一性质不难通过Delta函数的卷积性质和卷积运算的积分性质证明。 f(t)*δ(t)=f(t)且有1/D[f(t)*δ(t)]=f(t)*1/D[δ(t)]=f(t)*u(t) 所以:f(t)*u(t)=1/D[f(t)] u(t)*u(t)=t×u(t)根据积分性质,u(t)*u(t)相当于对u(t)积分,所以结果为斜升函数r(t)=t×u(t) (t≤0时为零) 常用推论:u(t+a)*u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b)首先可证明: 如果有:f(t)*g(t)=h(t),则有 f(t+a)*g(t+b)=h(t+a+b) 这一定理称”卷积的平移性质“。 所以,令f=g=u, 则h = r(t) = t×u(t),可得 u(t+a)*u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b) |
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