定义

物理意义

卷积性质(f(t)*u(t)=1/D[f(t)](D为微分算子) u(t)*u(t)=t×u(t) 常用推论：u(t+a)*u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b))

定义

单位阶跃函数目前有三种定义，共同之处是自变量取值大于0时，函数值为1，

自变量取值小于0时，函数值为0，不同之处是，自变量为0时函数值各不相同。

第一种定义：自变量为0时函数值不确定或不定义，见北京大学吴崇试的数学物理方法第二版117页9.4式，南京大学梁昆淼数学物理方法第四版83页5.3.6式，陕西理工学院龙姝明数学物理方法& Mathematica79页5.41式）

第二种定义：自变量为0时函数值为1/2，见吴大正信号与线性系统分析第四版13页1.4-3式

第三种定义：自变量为0时，函数值为1。见吴大正信号与线性系统分析第四版102页3.2-4式关于单位阶跃序列的讨论。

从傅里叶积分变换角度看，第二种定义来得更自然，它正好可以用“符号函数与1之和”再除2来定义，而且计算逆傅里叶变换时我们必须用到这个定义。

如果考虑半域问题，例如Laplace积分变换，即可以采用第一种定义，也可以采用第三种定义。

物理意义

从物理角度讲，引入单位阶跃函数一是为了解决单位冲激函数（狄拉克Delta函数）的积分；二是系统在输入信号激励下的响应问题中，为了区分信号加入系统前后两个时点。信号加入系统开始起作用的时点称为“0时刻”后沿，记为0+，t=0+，就是t>0；输入信号要加而未加入的时点称为0时刻前沿，记为0-，t=0-,就是t<0。因而物理上一般不介入（0- ，0+）时区，因为这个时区内说不清输入信号到底加入系统了没有，实际上这个时区的宽度也不定，数学上可以认为它趋于0。于是单位阶跃函数在自变量为0处，即（0－，0+）区间上的值不予定义。这就是物理上采用第一种定义的缘故。

卷积性质

f(t)*u(t)=1/D[f(t)](D为微分算子)

这一性质不难通过Delta函数的卷积性质和卷积运算的积分性质证明。

f(t)*δ(t)=f(t)且有1/D[f(t)*δ(t)]=f(t)*1/D[δ(t)]=f(t)*u(t)

所以：f(t)*u(t)=1/D[f(t)]

u(t)*u(t)=t×u(t)

根据积分性质，u(t)*u(t)相当于对u(t)积分，所以结果为斜升函数r(t)=t×u(t) (t≤0时为零)

常用推论：u(t+a)*u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b)

首先可证明：

如果有：f(t)*g(t)=h(t)，则有

f(t+a)*g(t+b)=h(t+a+b)

这一定理称”卷积的平移性质“。

所以，令f=g=u, 则h = r(t) = t×u(t)，可得

u(t+a)*u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b)