单位根的一些性质(性质一：n次单位根的模为1，即|εk|=1 性质三：A=1^m+ε1^m+ε2^m+…+εn-1^m 性质四：全部单位根将复平面上单位圆n等分)

应用：

单位根（unit root）设n 是正整数，当一个数的n 次乘方等于1 时，称此数为n 次“单位根”。在复数范围内，n 次单位根有n 个。例如，1、－1、i、－i 都是4次单位根。确切的说，单位根指模为1的根，一般的x^n=1的n个根可以表示为: x=cos(2kπ/n)+sin(2kπ/n)i ，其中:k=0,1,2,..,n-1 ，i是虚数的单位。

本原根

单位的n次根以乘法构成n阶循环群。它的生成元是单位的n次本原根。单位的n次本原根是e2πik / n，其中k和n互质。单位的n次本原根数目为欧拉函数φ（n）

单位的一次根有一个：1。

单位的二次根有两个：+1和-1，只有-1是本原根。

单位的三次根是

{1,(-1+根号3i)/2,(-1-根号3i)/2}

其中i复数单位；除1外都是本原根。

单位的四次根是

{1,+i,-1,-i}

其中 + i和 - i是本原根。

单位根的一些性质

由于度量不认识上标，所以烦请喜欢研究者直接看图

性质一：n次单位根的模为1，即|εk|=1

性质二：两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k　推论1：εj =ε-j

推论2：εk=εmk

推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr

注：它说明εk等价于r=0

推论4：任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1

说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n次原根。从而所有n次单位根还可以写作

ε1,ε1,…,ε1(ε0=1)

推论5：一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即εk=εn-k(‘表示共轭)

因为εkεk=|εk|，εk=1/εk=ε-k=εn-k (由推论3)

注：由上证明看到1/εk=εk，说明所有虚的n次单位根都成对共轭

推论6：对任意整数k,h，有εk=εh

性质三：A=1^m+ε1^m+ε2^m+…+εn-1^m

当n|m时，A=n，否则A=0

证明：由性质二推论4有

A=1+ε1+(ε1)+…+(ε1)

=1+ε1+(ε1)+…+(ε1)

=[1-(ε1)]/( 1-ε1)=[1-(ε1)]/ (1-ε1)=(1-1)/ (1 -ε1)=0

推论1：∑(i从0到n-1) εi=0

推论2：设εk≠1，则∑(i从0到n-1) εk=0

证明：由εk≠1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，

∑(i从0到n-1) εk=∑(i从0到n-1) εi=0

性质四：全部单位根将复平面上单位圆n等分

应用：

见图册（黑图）

其中用到了一个关于n次单位根的性质（白图性质3）