用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。单摆在摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。单摆运动的周期公式：T=2π√(L/g).其中L指摆长，g是当地重力加速度。

单摆做简谐运动的周期

关于为什么单摆合力不可能指向平衡位置

应用(单摆周期公式)

详细说明

详细的公式推导(相关解释 sir_chen补充 用Maple计算得到：)

大摆角振幅的精确函数

单摆做简谐运动的周期

单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。

关于为什么单摆合力不可能指向平衡位置

如果合力指向平衡位置(成为一条弦),那么拉力的大小在任意时刻都不变,大小恒等于重力,则会有,当小球靠近平衡位置时,重力分到半径方向上的分力变大,而拉力不变,故向心力减小,而小球靠近平衡位置时,沿切向速度变大,由F=mv^2/r可知,向心力应该变大,即拉力应该变大,所以矛盾,故合力不指向平衡位置.

应用

当单摆周期T=2s时，由公式推导，摆长大约为1m，这种情况的单摆叫做秒摆。秒摆常见于摆钟上。

注意：在目前高中阶段，一般研究摆角小于10°的情况（即近似看做简谐运动），且高中阶段教材中仅涉及在试验中推测公式，不涉及单摆周期公式的推导（因为需要涉及到高等数学）。

单摆周期公式

单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成．摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆．在满足偏角<10°的条件下，单摆的周期t=2π根号下（l/g）

．从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsin ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l和重力加速度g有关．在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．

物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．

详细说明

质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为 l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所 成角度小于10°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期 T只和l和当地的重力加速度g有关，即 而和质块的质量 、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。如果振动的角度大于 10°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。首先由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述：

详细的公式推导

M = - m * g * l * Sin x.

其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。

我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得到，

M = J * β。

其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。

于是化简得到

x'' * l = - g * Sin x.

我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程

x'' + Sin x = 0.

因为单摆的运动方程（微分方程）是

x'' + Sin x = 0…………（1）

而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是

x'' + x = 0………………（2）

相关解释

我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。

不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。（这里取的是弧度制。即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。

然后说一下为什么是10°。由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。

事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。

由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精确。如果角度很大（比如60度处，误差高达17%），就完全不能说它是简谐振动了。

伽利略第一个发现摆的振动的等时性，并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动。惠更斯制成了第一个摆钟。单摆不仅是准确测定时间的仪器?也可用来测量重力加速度的变化。惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那，发现每天慢 2.5分钟，经过校准，回巴黎时又快 2.5分钟。惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱。I.牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的。直到20世纪中叶，摆依然是重力测量的主要仪器。

sir_chen补充

上面提到是角度比较小的时候单摆的近似公式，但是对于我个人而言比较喜欢追求完美。所以在此补充一点，也就是在任意角度下单摆的周期公式.但在此之前提出两个概念：第一类不完全椭圆积分：F(φ，x)=∫[0，φ]dθ/√（1-x&sup2;sin&sup2；θ），第一类完全椭圆积分K(x)=F（π/2,x)=∫[0，π/2]dθ/√（1-x&sup2;sin&sup2；θ）（∫[a,b]f(x)dx表示对f(x）在区间[a,b]上的定积分）

设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ，那么单摆的运动公式为：

d&sup2；θ/dt&sup2;+g/l*sinθ=0

令ω=dθ/dt，上式改写成：

ωdω/dθ+g/l*sinθ=0

ω&sup2;=2g/l*cosθ+c

给定初始条件θ=α（0≤α≤π），ω=0，则其特解为：

ω&sup2;=2g/l*(cosθ-cosα）=4g/l*(sin&sup2；（α/2）-sin&sup2；（θ/2）)

所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l)*∫[0，θ]dθ/√（sin&sup2；（α/2）-sin&sup2；（θ/2）)

做变换sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ，则

t=√（l/g)*∫[0，φ]dφ/√（1-sin&sup2；（α/2）*sin&sup2；φ）=√（l/g)*F（φ，sin（α/2）)

以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式，当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时，θ=α，此时φ=π/2

那么T=4t=4√（l/g)*F（π/2,sin（α/2）)=4√（l/g)*K(sin（α/2）），此处的α就是常说的摆角，现在看一下不同的摆角对周期的影响

单摆的近似公式为T=2π√（l/g），精确公式为T=4√（l/g)*K(sin（α/2）），记相对误差为e（α）

那么e（α）=（2K(sin（α/2）)-π)/（2K(sin（α/2）)

用Maple计算得到：

当10度内，e= sine=l/g

e（1）=0.0019%

e（2）=0.0076%

e（3）=0.0171%

e（4）=0.0305%

e（5）=0.0476%

e（6）=0.0685%

e（7）=0.0933%

e（8）=0.1218%

e（9）=0.1542%

e（10）=0.1903%

e（11）=0.2303%

e（12）=0.2741%

e（13）=0.3217%

e（14）=0.3730%

e（15）=0.4282%

e（16）=0.4872%

e（17）=0.5500%

e（18）=0.6165%

e（19）=0.6869%

e（20）=0.7611%

实验室一般取α≤5，所以相对误差不超过0.05%，总的来说精度还是比较高的。

大摆角振幅的精确函数

单摆的角度随时间的变化，用积分的方法无限逼近，可以有精确结果，有电脑程序来执行，误差也可以得到计算，逼近的方法如下，假设角速度为ω，ω=dα/dt，摆角的加速度为dω/dt，根据牛顿定律,

L*dω/dt = -g* sin（α），此公式用下列方法积逼近

ω（t) = - Σ√（L/g) sin（α） Δt，当 Δt，足够小的时候，ω（t）的值误差就收敛在要求范围内，同样

α（t) = Σ[（ω（t)+ω（t+Δt)]/2 Δt（为更快收敛在截取点去平均值）

把Δt不断分割小，用上述公式计算α就会也越来越接近 ，在一定时间（N个周期）计算的精度误差小于一定值的，则可得到精确结果。

从结果得知，精确的结果和物理书近似公式一样，是一个三角函数（或者无限逼近一个三角函数），只是在最大振幅摆动比较大的时候，周期发生了较大的变化。由下图红线（物理书近似公式）和绿线（计算机逼近积分）可以看到当振幅是60度时，周期的差别。当最大摆角越大，由简谐震动而来物理书计算公式误差也越大。然而经过计算机模拟，发现单摆运动仍然是简谐运动，只不过频率减慢，或周期加长，频率减慢的幅度单纯是最大振幅角的一个简单函数，与摆长无关。

假设摆角为，时间为t，最大摆角是 α0， 则单摆α随时间变化真正的公式是

α（t）= α0 cos( √（g/L)*（1- 0.0620315447 *α0*α0) * (t-t0))

（此系数0.0620315447应用于α0角是弧度度单位，在-π/2到π/2之间 ）

或者

α（t）= α0 cos( √（g/L)*（1- 1.89519687E-05*α0*α0) *(t-t0))

（此系数应用于α0角是角度单位，在-90到90度之间 ）

也就是说，当物理书近似公式的摆动频率是 ω0= √（L/g) 时

在最大摆角为90度范围内，真正的单摆运动仍然非常逼近三角函数，只是真正的频率是近似频率乘以一个简单的二次方函数。

ω= （1-0.0620315447*α0*α0) * ω0 =（1- 0.0620315447*α0*α0)* √（L/g)

而这个公式，可以在振幅0-85度范围内，误差全部小于0.01%。

这个常数系数0.0620315447是由对于模拟周期测量之后，算出角速度ω，左图随着振幅角度的变化，电脑得出精确函数的角速度ω

与物理书近似公式的角速度ω0的比率ω/ω0，振幅为0度，角速度相等，比率ω/ω0为1，振幅越大，精确的角速度变得越小，ω/ω0也下降，

绿线是从电脑测出的比例，蓝线则是上述经验公式计而得出的比例，两者几乎完全吻合。与小角振幅近似公式的周期比较得来，为什么是固定常数造成了一个振幅角度的简单二次方函数，为什么是这个数值。

图的红色和绿色是上述公式与计算机无限逼近的积分结果的叠和。显示范围在一个周期。全程范围内误差都至少小于0.001%（甚至可能完全精确）

和近似公式相比，大振幅的单摆运动和物理书的近似公式相比，只是摆动周期或者频率发生了变化，其三角函数的性质完全相同。

右图是上述经验公式，与电脑模拟的实际摆动的叠和。也就是说，经过用振幅修正角速度后，两者几乎完全吻合