概述

直接迭代法的思想

概述

非线性方程一般很难求得数值解，而且在实际应用中也没有必要求得精确的数值解，往往只要求得满足一定精度要求的近似解。常用的非线性方程求解方法主要有两种：搜索法（直接法）和迭代法。直接迭代法就最简单的迭代法。

直接迭代法的思想

直接迭代法的解思路为使用某个固定公式反复校正根的近似值，使其逐步精确，直到得出满足精度要求的结果位置。非线性方程的一般形式为f(x)=0，用迭代法求解时，首先需要将一般形式的方程改写为以下形式

x=g(x) （1）

上式左右两端都含有未知的x，我们用一个估计值x0带入方程右端求出x，将求出的x写为x1，方程变为x1=g(x0)。再将x1带入右端，又可求得x2，这样可得

xk+1=g(xk) （2）

上式即迭代格式，由上式反复计算可得到一个数列x0，x1，x2，…，xk，…。

如果此数列有极限，这个极限就是方程x=g(x)的根。所得数列的极限存在时，称迭代格式收敛，反之，则称迭代格式发散。此时无法通过迭代求解。如果两次迭代计算的偏差小于规定的允许误差ε，即满足收敛判据

∣xk+1-xk∣<ε （3）

则终止计算。

如果g(x)有连续的一阶导数g’(x)，若满足∣g’(x*)∣<1，则对任意初值x0均收敛。g’(x)取值不同，迭代过程的收敛情况不同。

直接迭代法的具体步骤： ① 给定初值x0、计算精度；

② 用迭代格式xk+1=g(xk)进行迭代计算；

③ 判断迭代结果是否满足收敛判据，如果满足，终止计算并输出结果，否则返回步骤②。