定义

性质

约和运算的迭代

定义

对一个不小于2的整数而言，求它的所有不等于它本身的约数之和进行的运算。记一个整数n的“约和”为S(n)

性质

1、 S(n)=1的充要条件是n为素数；

2、 若n为偶数，则S(n)为奇数的充要条件是n为完全平方数；若n为奇数，则S(n)为偶数的充要条件是n为完全平方数；

3、 若n为大于3的奇素数，则S(2n)=(n+6)/2 S(6n)=6n+12；

4、S(n)不等于2.

约和运算的迭代

设S(n,m)=S(S(S(……S(n))))，其中有m次“约和”的计算。若存在m使S(n,m)=1，则称n为“迭约数”。

对于迭约数n，定义d(n)为使S(n,m)=1的m的最小值。

显然，完全数都不是迭约数（完全数指使S(n)=n的数n，如6、28、496……都是完全数）；

另外，若两个数互为相亲数（若m,n满足S(m)=n且S(n)=m，则m,n互为相亲数，如220和284），则这两个数都不是迭约数。

除此以外，对于n而言，若存在m使得S(n,m)不是迭约数，则n不是迭约数。

那么，是否除了以上三种情况，对于所有大于2的正整数n，都是迭约数，即有p(n)存在呢？有些数并不知道是存在p(n),如150，222等

显然，对于所有素数p，都有d(p)=1。

由约和运算性质4知：当且仅当S(n)为奇素数时，d(n)=2

对于d(n)>2,太过复杂。但是，可以由约和运算性质3得知，当6|n时，有S(n)>n,且S(n)仍可能是6的倍数，则当n=6k且k较大时，n很可能是非迭约数

小于100的非迭约数：6（完全数）、25（因为S(25)=6）、28（完全数）、95（因为S（95）=25）