定义

基本性质

代数与超越元素(例子： 例子：)

正规、可分与伽罗瓦扩张

注释

数学中，更确切的说是在抽象代数中，域扩张（field extensions）是域论中的主要研究对象。一般想法是从一个基域开始以某种方式构造包含基域的更大的域并满足其他一些性质。

定义

设L是一个域。如果K是L的一个子集在域L中的加法与乘法运算封闭且K中每个元素的加法与乘法逆仍在K中，则我们说K是L的一个子域，L看作K上的扩域，叫做K上的域扩张，记作L/K。

L的包含K任一子域叫做域扩张L/K的一个中间域（或中间扩张或子扩张）。

给定一个域扩张L/K以及L的一个子集S，我们记K(S)为L包含K与S的最小子域。我们说K(S)由将S中元素添加到K中生成。如果S只包含一个元素s，我们通常将K({s})记成K(s)。这样形式的域扩张L=K(s)称为单扩张，而s称为这个扩张的本原元。

给定一个域扩张L/K，则L也可视为K上一个矢量空间。L中的元素是矢量而K中的元素是数量。矢量加法就是L中加法，数量乘法是用K中的元素乘以L中的元素。这个矢量空间的维数称为扩张的度数，记作[L:K]。

度数1的扩张（即L等于K）称为平凡扩张。度数为2和3的扩张分别称为二次扩张与三次扩张。由度数是有限或无限决定一个扩张称为有限扩张或无限扩张。

基本性质

如果L/K是一个域扩张，则L和K有相同的0和1。加法群(K，+)是(L，+)的一个子群，乘法群(K−{0}，*)是(L−{0}，*)的一个子群。特别地，如果x是K的一个元素，则在K中的加法逆−x与在L中的加法逆相同；同样对K中非零元素的乘法逆也成立。

特别地，L与K的特征相同。

代数与超越元素

如果L是K的一个扩张，L中一个元素若是K上一个非零多项式的根则称在K上是代数的。不是代数的元素则称为超越的。

例子：

(1)在C/R中，i是代数的，因为它是x²+1的一个根；

(2)在R/Q中，e是超越的，因为没有任何有理系数多项式以e为根；

如果L的每个元素在K上都是代数的，则扩张L/K称为代数扩张；不然称为超越的。如果L中除了在K中的元素在K上都是超越的，则此扩张称为纯超越的。可以证明一个扩张是代数的当且仅当是它的有限子扩张之并。特别的，每个有限扩张是代数的。

例子：

C/R与Q (√2)/Q，是有限的，所以是代数的。

R/Q是超越的，但不是纯超越的。

任意域K有一个代数闭包；本质上这是在K上代数的最大域扩张，包含所有K系数多项式方程的根。

正规、可分与伽罗瓦扩张

一个域扩张L/K称为正规的，如果K[X]中有一个根在L中的每个不可约多项式可以完全分解为L上线性因式的乘积。每个代数扩张F/K有一个正规闭包L，它是域F的一个扩张使得L/K是正规的并是满足此性质的极小扩张。

一个代数扩张L/K称为可分的，如果L中每个元素在K上的极小多项式是可分的，即在K的一个代数闭包中没有重根。一个伽罗瓦扩张是既正规又可分的域扩张。

在一个域扩张L/K中，L的全部K-自同构成一群，叫做L/K的伽罗瓦群，记成Gal(L/K)。

在中间域与伽罗瓦群的子群之间有一个双射，这就是伽罗瓦理论基本定理。

注释

记号L/K纯粹是形式的，不表示商环或商群，或其他任何形式的除法。在某些文献中使用记号L:K。

经常希望在较小的域不是包含在较大的域中但是自然嵌入时谈论域扩张。为此，抽象地定义域扩张为两个域之间的一个单环同态。域之间的任何环同态是单射，故域扩张正好是域范畴中的态射。

在上面的讨论中我们，我们忽略单同态，处理的是真正的子域。