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ISBN：7560612652　

丛书名： 研究生系列教材

作者： 李广民 刘三阳

出版社：西安电子科技大学出版社　

上架日期：2005-10-8　出版日期：2003-8-1

版次：1-1　

开本：16开　

所属分类：分析> 泛函分析

内容简介

本书根据作者近10年来为工科研究生讲授“应用泛函分析”课程的教学内容充实修改而成。其主要内容有：实分析基础、距离空间、线性赋范空间与内积空间、线性泛函与线性算子、不动点定理与最佳逼近、线性算子谱论初步和抽象空间的微积分等。在讲述上尽量通俗直观、深入浅出，对诸多抽象概念和定理提供了较多的例子。习题难易适中并附有解答或提示.

本书适合工科研究生和数学专业本科生作为教材或教学参考书使用.

目录

第一章 实分析基础 1

1.1 集合及其运算 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 可数集与不可数集 3

1.2 实数的完备性 5

1.2.1 有理数及其稠密性 5

1.2.2 实数及其完备性 6

1.3 实直线上的开集、闭集、连续函数 11

1.3.1 开集与闭集 11

1.3.2 点集上的连续函数 13

1.4 勒贝格(Lebesgue)测度与可测函数 15

1.4.1 勒贝格测度 15

1.4.2 可测函数 19

1.5 勒贝格积分 22

1.5.1 勒贝格积分的定义与性质 23

1.5.2 积分的极限定理 29

习题一 33

第二章 距离空间 35

2.1 距离空间的定义及例子 35

2.1.1 距离空间的定义 35

2.1.2 距离空间中的极限 38

2.1.3 距离空间中的开集与闭集 40

2.1.4 连续映射 41

2.2 距离空间的可分性与完备性 42

2.2.1 可分性 42

2.2.2 完备性 45

2.2.3 距离空间的完备化 48

2.3 距离空间的列紧性与紧性 50

2.3.1 列紧性 50

2.3.2 全有界性 52

2.3.3 几个具体空间中点集列紧的等价条 53

习题二 54

第三章 线性赋范空间与内积空间 57

3.1 线性赋范空间 57

3.1.1 定义及例子 57

3.1.2 线性赋范空间中的极限 59

3.1.3 线性赋范空间的完备化 60

3.2 有限维线性赋范空间 61

3.2.1 n维线性赋范空间的模型 61

3.2.2 范数的等价性 62

3.2.3 有限维线性赋范空间的性质 62

3.3 内积空间与希尔伯特空间 65

3.3.1 内积与内积空间 65

3.3.2 正交与正交分解 68

3.4 内积空间中的傅立叶级数 70

3.4.1 标准正交系 70

3.4.2 傅立叶级数及其收敛性 72

3.4.3 可分希尔伯特空间的模型 76

习题三 78

第四章 线性泛函与线性算子 81

4.1 线性连续泛函与共轭空间 81

4.1.1 线性泛函的概念及例子 81

4.1.2 共轭空间 83

4.1.3 几个具体空间上线性连续泛函的一般形式 85

4.1.4 希尔伯特空间中线性连续泛函的表示 88

4.2 线性泛函的延拓 90

4.2.1 延拓定理及推论 90

4.2.2 延拓定理的几点应用 93

4.3 线性有界算子 96

4.3.1 定义及例子 96

4.3.2 线性有界算子空间 99

4.3.3 算子乘法及逆算子 103

4.4 线性算子的基本定理 105

4.4.1 逆算子定理 105

4.4.2 闭图象定理 107

4.4.3 共鸣定理 109

4.4.4 应用举例 110

4.5 强收敛、弱收敛与一致收敛 114

4.5.1 赋范空间中点列的强收敛与弱收敛 114

4.5.2 算子序列的各种收敛性 117

4.6 共轭算子与自共轭算子 118

4.6.1 特例 118

4.6.2 赋范空间中的共轭算子 119

4.6.3 希尔伯特空间中的自共轭算子 124

习题四 128

第五章 不动点定理与最佳逼近 132

5.1 压缩映射原理 132

5.1.1 巴拿赫不动点定理及其推论 132

5.1.2 巴拿赫不动点定理的应用 134

5.2 紧凸集上的不动点定理 140

5.2.1 凸集 140

5.2.2 勃劳威尔不动点定理 143

5.2.3 绍德尔(Schauder)不动点定理 144

5.3 最佳逼近 148

5.3.1 线性赋范空间中的最佳逼近 149

5.3.2 希尔伯特空间中的最佳逼近 156

习题五 159

第六章 线性算子谱论初步 161

6.1 线性算子谱的概念与性质 161

6.1.1 基本概念 161

6.1.2 线性有界算子谱的基本性质 165

6.2 自共轭算子的谱 168

6.2.1 有界自共轭算子谱的性质 168

6.2.2 全连续自共轭线性算子的特征展开 171

6.2.3 具有对称核的积分方程 176

习题六 179

第七章 抽象空间的微积分 180

7.1 抽象函数的微积分 180

7.2 导算子 183

7.2.1 弗里歇导算子 183

7.2.2 加脱导算子 188

7.3 高阶导算子 192

7.3.1 n重线性算子 192

7.3.2 高阶导算子 194

7.3.3 泰勒公式 195

7.4 隐函数定理 197

7.4.1 隐函数存在定理 197

7.4.2 隐函数的可微性定理 199

7.4.3 举例 200

7.5 泛函极值问题 202

7.5.1 泛函极值的必要条件 202

7.5.2 泛函极值的充分条件 204

7.5.3 条件极值问题 206

习题七 208

附录 部分习题参考解答或提示 210

参考文献 232