雅可比椭圆函数的定义

雅可比椭圆函数的性质(特殊点的值 周期，零点，极点，留数 诱导公式表 基本关系)

转换关系(加法公式 倍数公式 半数公式 乘法公式 导数公式 积分公式)

雅可比椭圆函数的定义

第一类椭圆积分

z=∫[(1-t^2)(1-k^2*t^2)]^(-1/2)dt (0~ω)

的反函数是双周期的亚纯函数，记作

ω=sn(z)=sn(z,k)

它具有基本周期：

ω=4K=4∫[1-k^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2)

ω'=2iK'=2i∫[1-k’^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2) k'=sqr(1-k^2)

sn(z)称为椭圆正弦，k为模，k‘为补模。若

sin(φ)=sn(z)

则称φ为z的振幅函数，记作 φ=am(z) 又定义

cn(z)=cos(φ)=sqr(1-sn(z)^2) (椭圆余弦)

tn(z)=tan(φ)=sn(z)/cn(z) (椭圆正切)

dn(z)=sqr(1-k^2*sn(z)^2)

上式中 sn(z) cn(z) tn(z) dn(z) 统称雅可比椭圆函数，它们都是二阶椭圆函数。

雅可比椭圆函数的性质

特殊点的值

z　0　 K/2　K　 iK'/2　 K+iK'/2　iK'　K+iK'

sn(z)　0　(1+k'^2)^(-1/2)　1　 ik^(-1/2)　 k^(-1/2)　∞　1/k

cn(z)　1　sqr(k'/(1+k'))　0　sqr((k+1)/k)　-sqr((k-1)/k)　∞　-ik'/k

dn(z)　1　 k'^(1/2)　k'　 sqr(1+k)　 sqr(1-k)　∞　0

周期，零点，极点，留数

　基本周期　 零点　 极点　 留数

sn(z)　4K 2iK'　 2mK+2niK'　2mK+(2n+1)iK'　((-1)^m)/k

cn(z)　4K 2K+2iK'　(2m+1)K+2niK'　2mK+(2n+1)iK'　((-1)^(m+n))/(ik)

dn(z)　2K 4iK'　(2m+1)K+(2n+1)iK'　2mK+(2n+1)iK'　(-1)^(n-1)*i

诱导公式表

sn(mK+niK±z)

╲m
n╲　-1　0　1　2　2p

-1　-dn(z)/(k*cn(z))　±1/(k*sn(z))　dn(z)/(k*cn(z))　负正1/(k*sn(z))　

0　-cn(z)/dn(z)　±sn(z)　cn(z)/dn(z)　负正sn(z)　

1　-dn(z)/(k*cn(z))　±1/(k*sn(z))　dn(z)/(k*cn(z))　负正1/(k*sn(z))　

2　-cn(z)/dn(z)　±sn(z)　cn(z)/dn(z)　负正sn(z)　

2q　
　
　
　
　(-1)^p*sn(z)cn(mK+niK±z)

╲m
n╲　-1　0　1　2　2p

-1　-(ik')/(kcn(z))　±(idn(z))/(ksn(z))　(ik')/(kcn(z))　负正(idn(z))/(ksn(z))　

0　±(k'sn(z))/dn(z)　cn(z)　负正(k'sn(z))/dn(z)　-cn(z)　

1　(ik')/(kcn(z))　负正(idn(z))/(ksn(z))　-(ik')/(kcn(z))　±(idn(z))/(ksn(z))　

2　负正(k'sn(z))/dn(z)　-cn(z)　±(k'sn(z))/dn(z)　cn(z)　

2q　
　
　
　
　(-1)^(p+q)*cn(z)dn(mK+niK±z)

╲m
n╲　-1　0　1　2　p

-1　负正(ik'sn(z))/cn(z)　±(icn(z))/sn(z)　负正(ik'sn(z))/cn(z)　±(icn(z))/sn(z)　

0　k'/dn(z)　dn(z)　k'/dn(z)　dn(z)　

1　±(ik'sn(z))/cn(z)　负正(icn(z))/sn(z)　±(ik'sn(z))/cn(z)　负正(icn(z))/sn(z)　

2　-k'/dn(z)　-dn(z)　-k'/dn(z)　-dn(z)　

q　
　
　
　
　(-1)^q*dn(z)

基本关系

sn(z)^2+cn(z)^2=1

dn(z)^2+k^2*sn(z)^2=1

dn(z)^2-k^2*cn(z)^2=k'^2

am(-z)=-am(z)

sn(-z)=-sn(z)

cn(-z)=cn(z)

tn(-z)=-tn(z)

dn(-z)=-dn(z)

可见，雅可比椭圆函数的关系与圆函数（三角函数）相似。

转换关系

加法公式

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倍数公式

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半数公式

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乘法公式

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导数公式

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积分公式